"אף אחד לא מבין את הקוונטים, בעיקר לא הפיסיקאים."

)נובמבר (010

"אף אחד לא מבין את הקוונטים, בעיקר לא הפיסיקאים."

תוכן עניינים 7 תהודה פרא מגנטית 1 7................................... הקדמה 1.1 7........................... אלקטרון בשדה מגנטי 1. 8 הוספת שדה מגנטי חלש....................... 1..1 11.................................... סיכום 1.3 חיבור תנע זויתי 1.1 הקדמה................................... 1. מציאת בסיס למצבים המשותפים של שני חלקיקים............. 1.3 בעיה בבסיס שמצאנו............................ 13.4 מעבר לבסיס החדש............................. 13.4.1 תנאים כלליים על מקדמי. CG.................. 14.4. מציאת מקדמי. CG........................ 15.4.3 נוסחת נסיגה למקדמי. CG.................... 17 18........................... 1.5 חיבור של שני ספינים 0................... טנזורים קרטזיים, ספריים ואי פריקים.6 0 אופרטור הסיבוב במכניקה הקוונטית.................6.1 4....... וקטורים (קלאסיים) ואופרטורים וקטוריים (קוונטיים).6. 7............................... טנזורים.6.3 8......................... טנזורים אי פריקים.6.4 9 מה הקשר לחיבור תנע זויתי?.....................6.5 3.................................... סיכום.7

33 שיטות קירוב 3 33................................... הקדמה 3.1 33.................... תורת ההפרעות שאיננה תלויה בזמן 3. 35.................... תורת ההפרעות הלא מנוונת 3..1 35...................... תורת ההפרעות המנוונת 3.. 38................. דוגמא: תיקונים לאטום דמוי מימן 3..3 39 תיקונים יחסותיים.................... 3..3.1 40 אינטראקציה ספין מסילה................ 3..3. 41 שיטת הוריאציה............................... 3.3 דוגמא: מציאת אנרגיית היסוד בור פוטנציאל אינסופי....... 43 3.3.1 44.................................... סיכום 3.4 46 סימטריה 4 46................................... הקדמה 4.1 46...................... משפטים כלליים עבור סימטריות 4. 47 הקשר בין סימטריה וניוון...................... 4..1 49................ הקשר בין סימטריה וגדלים נשמרים 4.. 49 סימטריה להזזות משפט. Bloch..................... 4.3 50.............. סימטריה להחלפת חלקיקים פרמיונים ובוזונים 4.4 51 מערכת של חלקיקים זהים ללא אינטראקציות עקרון. P auli.. 4.4.1 54.................................... סיכום 4.5 56 אטומים 5 56................................ אטום ההליום 5.1 56 הזנחת האינטראקציה בין האלקטרונים............... 5.1.1 59............. התייחסות לאינטראקציה בין האלקטרונים 5.1. 59.............. סדר ראשון בתורת ההפרעות 5.1..1 61 שיטת הוריאציה..................... 5.1.. 6.................... אטומים בעלי יותר משני אלקטרונים 5. 64................................ הכנות 5..1 3

64................... שיטת כופלי לגרנג' 5..1.1 64 נגזרת פונקציונאלית................... 5..1. 65 קירוב. Hartree.......................... 5.. 66 קירוב. Hartree F ock..................... 5..3 67............................... תיאור אטומים 5.3 67 תיאור הקונפיגורציה של האלקטרונים באטום............ 5.3.1 68................... תיאור המצב הכללי של האטום 5.3. 68 דוגמא: מציאת הטרמים הספקטרליים של אטום הפחמן 5.3..1 71 כללי. Hund................................ 5.4 74........... אינטראקציה ספין מסילה באטום מרובה אלקטרונים 5.5 77................ אפקט Zeeman באטום מרובה אלקטרונים 5.6 78...................... חישוב הגורם של Landé 5.6.1 79.................................... סיכום 5.7 6 מולקולות 80 6.1 הקדמה................................... 80 6. קירוב. Born Oppenheimer..................... 81 6.3 המולקולה + H............................... 8 6.4 המולקולה. H............................... 85 6.4.1 שיטת אורביטל מולקולרי...................... 85 6.4. שיטת. Heitler London.................... 85 6.5 היברידיזציה................................. 87 6.6 כוחות. V an der W aals......................... 88 6.7 סיכום.................................... 90 9 תורת ההפרעות עבור התפתחות בזמן 7 9 תמונת האינטראקציה............................ 7.1 93........................ הסתברות למעבר בין מצבים 7. 94........................... כלל הזהב של F ermi 7.3 97 הפרעה מחזורית בזמן............................ 7.4 97.................................... סיכום 7.5 4

99 קוונטיזציה של השדה האלקטרומגנטי ואינטראקציה של קרינה עם חומר 8 99................................ תיאור קלאסי 8.1 99 חזרה קצרה (ומרובת נוסחאות) על שדות אלקטרומגנטיים..... 8.1.1 כיול לורנץ........................ 100 8.1.1.1 כיול קולון........................ 100 8.1.1.............................. 101 שדות בריק 8.1................... 101 שדות באזור של מטענים וזרמים 8.1.3 משוואות התנועה וההמילטוניאן................... 10 8.1.4 103.................. קוונטיזציה של השדות אופרטורי סולם 8................ 104 הצגה של t) A(r, במהוד בצורת תיבה 8..1 105..................... וקטורי הקיטוב 8..1.1 106 אינטראקציה של פוטון עם חלקיק טעון................... 8.3..................... 106 פליטה ספונטנית של פוטון 8.3.1....................... 108 קירוב הדיפול החשמלי 8.3. זמן החיים של מצב מעורר בקירוב הדיפול החשמלי........ 109 8.3.3 כללי ברירה למעבר דיפול חשמלי.................. 109 8.3.4 דוגמא: מעברים בין רמות שנוצרות באפקט Zeeman 8.3.4.1 111 האנומלי................................................. 113 אי הוודאות באנרגיה 8.3.5...................... 116 פליטה מאולצת של פוטון 8.3.6 118.................................... סיכום 8.4 10 פיזור 9 10............................ תזכורת לגבי פיזורים 9.1 11............................. פיזור של גל מישורי 9. 13 המשפט האופטי............................... 9.3 15................................ קירוב Born 9.4 16........................... פיזור באנרגיות נמוכות 9.5 18............... חישובי פיזור באמצעות כלל הזהב של F ermi 9.6 19.................................... סיכום 9.7 5

10 משוואות רלטיביסטיות לחלקיק בעל ספין חצי 131 10.1 חלקיק חופשי רלטיביסטי.......................... 131 10. משוואת דיראק............................... 133 10.3 משוואת דיראק בגבול הלא רלטיביסטי................... 134 10.4 סיכום.................................... 136 6

פרק 1 תהודה פרא מגנטית 1.1 הקדמה אנו מעוניינים לחקור את המערכת הקוונטית הכי פשוטה שאפשר לחשוב עליה: אלקטרון בודד עם ספין חצי. נכניס אותו לשדה מגנטי ונראה מה יקרה. 1. אלקטרון בשדה מגנטי כפי שראינו בקורס קוונטים 1, ההמילטוניאן של אלקטרון בשדה מגנטי B הוא: H = µ B כאשר µ הוא המומנט המגנטי של האלקטרון, וניתן ע"י: µ = g e e m e c S g e הוא ה g פקטור המיסתורי השווה בערך ל, S הוא אופרטור הספין, ו µ B = e /m e c נקרא המגנטון של.Bohr לכן נקבל שההמילטוניאן הוא (בקירוב בו H = µ B σ B לוקחים = e :(g נבחר שדה מגנטי בכיוון ציר B. = B 0 ẑ z, אז ההמילטוניאן הוא: H = µ B σ z B 0 לכן, המצבים העצמיים והווקטורים העצמיים הם: H = µ B B 0 H = µ B B 0 7

נתאר מצב כללי בזמן = 0,t ψ(t = 0) = a + b באמצעות וקטור העמודה ( ) a b ההתפתחות בזמן של המצב ניתנת ע"י משוואת שרדינגר: ψ(t) = e i Ht ψ(t = 0) ψ(t) = נגדיר את תדירות לארמור ω L µ B B 0 / ונקבל: ( ) ae i ω Lt be i ω Lt נחשב כעת את ערכי התצפית של σ y σ, x ו σ z תחת המצב ψ בזמן t: ( ) ( ) ( ) ψ(t) σ z ψ(t) = a e i ω Lt b e i ω 1 0 ae i ω Lt Lt 0 1 be i ω Lt = a b ( ) ( ) ( ψ(t) σ x ψ(t) = a e i ω Lt b e i ω 0 1 Lt 1 0 = ab cos (ω L t + φ) ( ) ( ) ( ψ(t) σ y ψ(t) = a e i ω Lt b e i ω 0 i Lt i 0 = ab sin (ω L t + φ) ae i ω Lt be i ω Lt ae i ω Lt be i ω Lt קיבלנו שערך התצפית z σ הינו קבוע בזמן, וערכי התצפית x σ ו y σ מתארים תנועה מעגלית בתדירות ω. L כלומר הוקטור σ מבצע פרצסיה סביב ציר z בתדירות ω L (איור 1.1). כעת מגיע שלב התחכום. ) ) 1..1 הוספת שדה מגנטי חלש נוסיף שדה מגנטי חלש, משתנה בזמן, בכיוון ציר B, 1 = B 1 cos(ωt)ˆx x, כך ש.B 1 B 0 כעת ההמילטוניאן הוא: H = µ B σ B = µ B (σ z B 0 + σ x B 1 cos(ωt)) ( B 0 B 1 cos(ωt) = µ B B 1 cos(ωt) B 0 ) i d dt ( a b ) ומשוואת שרדינגר עבור המצב ψ(t) היא: ( ) a = H b ( ) ( ) B 0 B 1 cos(ωt) a = µ B B 1 cos(ωt) B 0 b 8

איור 1.1: פרצסיית לארמור iȧ = 1 ω La + ω 1 cos(ωt)b iḃ = ω 1cos(ωt)a 1 ω Lb נסמן ω 1 µ B B 1 / ונקבל את המשוואות: על מנת לפתור אותן נעבור למערכת צירים המסתובבת בתדירות לארמור ω L באמצעות A(t) = a(t)e i ω Lt B(t) = b(t)e i ω Lt הטרנספורמציות: ואז המשוואות הן: ia = ω 1 cos(ωt) Be iω Lt = ω ( ) 1 B e i(ωl ω)t + e i(ω L+ω)t (1.1) iḃ = ω 1cos(ωt) Ae iω Lt = ω 1 A ( e i(ω L ω)t + e i(ω L+ω)t ) (1.) יהיה מעניין לראות מה יקרה אם התדירות של השדה המגנטי החלש תהיה קרובה לתדירות לארמור, כלומר: ω L ω ω L (1.3) במקרה זה, השדה B 1 לאט לאט יגדיל את x σ, כי לא משנה מה יהיה הכיוון של x σ (חיובי או שלילי), השדה B 1 יהיה בכיוון המתאים לו. כך, אפילו שהשדה חלש, הוא יכול 9

להשפיע כאשר הוא בתדירות המתאימה. זו כמובן תהודה, ונראה איך היא באה לידי ביטוי בנוסחאות. במקרה שמתקיים 1.3, נקבל גם ש ω L ω ω L + ω לכן ב 1.1 וב 1., נקבל סכום של אוסילציות בתדירות נמוכה ואוסילציות בתדירות גבוהה. אפשר לחשוב על התדירות הגבוהה כמו "רעש" על גבי התדירות הנמוכה, כך שעבור פרקי זמן ארוכים, היא מתמצעת לאפס. לכן נזניח אותה 1 ונקבל: ia ω 1 Bei(ω L ω)t iḃ ω 1 Ae i(ω L ω)t עבור תנאי התחלה ψ(t = 0) = כלומר: A(0) = 0 B(0) = 1 ( ) ω1 t A(t) = isin ( ) ω1 t B(t) = cos ואם נניח,ω = ω L נקבל: כלומר, לאחר זמן t, 1 = π/ω 1 המצב במערכת המסתובבת ובמערכת המעבדה יהיה (עד ( ψ( π ) = ω 1 כדי פאזה) ) 1 = 0 שזה בדיוק הפוך מהמצב בו התחלנו! לאחר זמן t, = π/ω 1 המצב במערכת המסתובבת יהיה ( ) i 1 כלומר במערכת המעבדה, וקטור הספין יהיה כולו על מישור.xy הפעלת השדה המגנטי B 1 לפרק זמן t 1 נקראת "פולס π", והפעלתו לפרק זמן t, נקראת ". π בשני המקרים, לאחר כיבוי השדה B, 1 הספינים יחזרו למצב ההתחלתי שלהם "פולס תוך כדי שהם מבצעים פרצסיה בתדירות לארמור ω L ומשדרים קרינה אלקטרומגנטית 1 מרגישים מרומים? כן גם אני כשראיתי את זה פעם ראשונה, אבל אם חושבים על זה קצת, זה מסתדר... 10

בתדירות זו. משך הזמן שלוקח לספינים לחזור למצב ההתחלתי תלוי בסוג החומר, וכך אפשר להבחין בין רקמות שונות בגוף האדם במכשיר MRI (למעשה במכשיר כזה משתמשים בספינים של הגרעינים כי אז התדירות יותר נוחה לקליטה 40MHz) ν L(proton) לעומת ν L(electron) 180GHz בשדה מגנטי של 6 טסלה) וזמן החזרה למצב היסוד יותר ארוך, מסדר גודל של שניה). 1.3 סיכום 1. הספין של אלקטרון, הנמצא בשדה מגנטי חזק קבוע, מבצע פרסציות סביב כיוון השדה בתדירות הנקראת תדירות לארמור.. הפעלה של שדה מגנטי חלש, בכיוון המאונך לשדה המקורי, תשפיע על מצב הספין. אם השדה המגנטי החלש הינו אוסילטורי בתדירות לארמור, אזי נקבל תהודה, והספין יבצע תנודות: מכיוונו ההתחלתי לכיוון הפוך בדיוק, חזרה לכיוון ההתחלתי, וכו'. 3. הפסקת השדה המגנטי החלש בזמנים מסויימים תהפוך את כל הספינים (פולס π) או תביא אותם לכיוון שמאונך לכיוון השדה המגנטי החזק (פולס.( π 4. בשני המקרים, לאחר הפסקת השדה החלש, הספינים ידעכו חזרה למצב היסוד שלהם, תוך כדי שהם מבצעים פרצסיה ופולטים קרינה אלקטרומגנטית בתדירות לארמור. 5. זמן דעיכת הספינים שונה מחומר לחומר, וכך ניתן להבחין בין סוגי חומרים שונים. זהו עקרון הפעולה של מכשיר ה MRI. 11

פרק חיבור תנע זויתי.1 הקדמה ראינו בקוונטים 1 שהאופרטורים L ו L z מתחלפים, ולכן קיים סט של מצבים שהם מצבים עצמיים גם של L וגם של L. z כל מצב בסט הזה מסומן, lm כאשר: L lm = l(l + 1) lm L z lm = m lm כלומר, המצב lm הוא מצב עצמי של L עם ערך עצמי (1 + l(l ומצב עצמי של L z עם ערך עצמי. m תנע זויתי הוא גודל מעניין, בין היתר כי במקרים מסויימים הוא נשמר. כעת, אנו מעוניינים לטפל במצב בו יש יותר מחלקיק אחד, או כאשר לחלקיק אחד יש גם תנע זויתי אורביטלי (L) וגם ספין (S). במקרים כאלו מה שבד"כ ישמר הוא התנע הזויתי הכולל (אותו נסמן לעיתים ב J ). לכן, עלינו למצוא כיצד לתאר מצבים משולבים המורכבים מיותר מתנע זויתי אחד, וכיצד למצוא סט של מצבים עצמיים של התנע הזויתי הכולל J.. מציאת בסיס למצבים המשותפים של שני חלקיקים נתחיל במקרה של שני חלקיקים בעלי תנע זויתי אורביטלי (בלי ספין). יש לנו כבר בסיס לתיאור המצב של כל חלקיק בנפרד, זהו סט המצבים שתיארנו למעלה. נסמן את סט מצבי הבסיס של החלקיק הראשון ב 1 l 1 m ושל השני ב. l m כזכור, מצב של חלקיק אחד הוא וקטור במרחב הילברט. במקרה שלנו, כל חלקיק בנפרד מתואר ע"י וקטור במרחב הילברט שלו. המצב המשולב של שני החלקיקים, הוא וקטור במרחב הילברט חדש המרחב המשולב של שני החלקיקים. מרחב זה מורכב מכל הקומבינציות (או זוגות סדורים) של מצבים מהמרחב הראשון עם מצבים מהמרחב השני, ונקרא מרחב המכפלה. 1

אם נרצה למצוא בסיס למרחב המכפלה אז ניקח פשוט את כל הקומבינציות של אברי בסיס של המרחב הראשון עם אברי בסיס של המרחב השני. את המצב המשולב של שני החלקיקים נסמן ב l 1 m 1 l m או כדי לחסוך בדיו,. l 1 l m 1 m הסט הזה הינו בסיס למרחב הילברט המשולב של שני החלקיקים. נשים לב, שהנחנו שלחלקיק השני יכול להיות כל ערך של l ו m בלי קשר לערכים l 1 ו m 1 של החלקיק הראשון. כלומר, כל הקומבינציות של ערכי l 1, m 1 עם ערכי l, m אפשריות. איך עובדים במרחב המשולב הזה? נסמן את האופרטור L z של החלקיק הראשון ב L 1z ואת האופרטור L שלו ב L. 1 באופן דומה עבור החלקיק השני נסמן L z ו L. האופרטורים של החלקיק הראשון עובדים רק על החלק שלו בוקטור המצב. למשל עבור מצבים עצמיים של :L 1z L 1z l 1 l m 1 m = m 1 l 1 l m 1 m ועבור אופרטור ההעלאה של החלקיק הראשון: L 1+ l 1 l m 1 m = l 1 (l 1 + 1) m 1 (m 1 + 1) l 1, l, m 1 + 1, m כלומר, המצב של החלקיק השני אינו מושפע מהפעלת אופרטורים של החלקיק הראשון, ולהפך. נוכל להסיק מכך שאופרטורים ממרחבי הילברט שונים מתחלפים: [L 1z, L z ] = 0 [L 1, L ] = 0 לכן סה"כ נקבל שהאופרטורים L L, 1 L, z L, 1z כולם מתחלפים זה עם זה, ושמצבי הבסיס שלנו l 1 l m 1 m הם מצבים עצמיים של כל אחד מארבעת האופרטורים האלו..3 בעיה בבסיס שמצאנו את הבסיס למרחב המשותף מצאנו על ידי לקיחת קומבינציות של אברי בסיס מהמרחבים של כל אחד מהחלקיקים. אברי בסיס אלו הם המצבים העצמיים של האופרטורים L, z L, 1z L. L, 1 אבל, כפי שאמרנו קודם, הרבה פעמים הערך שיעניין אותנו יהיה התנע הזויתי הכולל ) L = (L 1 + L או.L z = L 1z + L z הבעיה היא שאברי הבסיס שמצאנו אינם בהכרח מצבים עצמיים של האופרטורים האלו. לכן נרצה למצוא בסיס חדש שיהווה סט של מצבים עצמיים עבור האופרטורים L L, 1 L, L, z (סט כזה קיים כי כל האופרטורים האלו מתחלפים). את המצבים האלו נסמן lm l. 1 l.4 מעבר לבסיס החדש אנו מחפשים כיצד לעבור מהבסיס l 1 l m 1 m לבסיס lm. l 1 l בצורה הכי כללית, כל אחד מאברי הבסיס החדש הוא קומבינציה לינארית של אברי הבסיס הישן: l 1 l lm = i α i l 1 l m 1 m 13

המקדמים α i נקראים מקדמי Clebsch Gordan (או,(CG והמטרה שלנו היא למצוא אותם. כידוע, המקדמים בפיתוח של כל וקטור הם פשוט ההיטלים שלו על כל אחד מוקטורי הפיתוח, לכן נוכל לרשום: l 1 l lm = i l 1 l m 1 m l 1 l lm l 1 l m 1 m (.1) כיוון שאנחנו רוצים להיות ידידותיים לסביבה (ולעצמנו) נסמן את המקדמים lm l 1 l m 1 m l 1 l בקיצור lm. l 1 l m 1 m כיצד נמצא את המקדמים האלו?.4.1 תנאים כלליים על מקדמי CG קודם כל עלינו למצוא מהם הערכים האפשריים של m ו l. כלומר, אנו יודעים ש = m l, l + 1,..., l אבל איך m מתקשר עם m 1 ו,m ואיך l מתקשר עם l 1 ו?l נתחיל בחישוב פשוט: L z l 1 l m 1 m = (L 1z + L z ) l 1 l m 1 m = L 1z l 1 l m 1 m + L z l 1 l m 1 m = m 1 l 1 l m 1 m + m l 1 l m 1 m = (m 1 + m ) l 1 l m 1 m כלומר, המצבים בבסיס הישן הם כבר מצבים עצמיים של L z עם ערכים עצמיים = m ). (m 1 + m כלומר, מתקיים.m = m 1 + m זה מוביל אותנו לתנאי הראשון על מקדמי. l 1 l m 1 m lm אז = 0 m m 1 + אם m :CG נחשוב כעת על הערכים האפשריים של l. לשם כך נדמיין את L 1 ואת L כווקטורים במרחב תלת מימדי, כאשר הגדלים שלהם הם L 1 = l 1 ו. L = l הסכום שלהם L 1 + L = L הוא גם וקטור במרחב תלת מימדי. מה נוכל להגיד על הגודל שלו, l, בהנתן הגדלים l 1 ו l? ברור שהוא יהיה מקסימלי אם שני הוקטורים L 1 ו L הם באותו כיוון. אז, הגודל של L הוא l. = l 1 + l אם, לעומת זאת, שני הוקטורים L 1 ו L הם בכיוונים מנוגדים, אז הגודל של L הוא מינימלי ושווה ל l. = l 1 l כלומר, נוכל להגיד ש l 1 l l l 1 + l (.) זו כמובן לא הוכחה, לכן על מנת לוודא שזה נכון, נספור כמה מצבים יש לנו בבסיס הישן, וכמה מצבים יש לנו בבסיס החדש, ונקווה שיצא אותו דבר. בבסיס הישן, לכל ערך של l 1 ישנם l 1 + 1 ערכים אפשריים עבור,m 1 ולכל ערך של l ישנם l + 1 ערכים אפשריים עבור.m לכן סה"כ עבור l 1, l נתונים, ישנם 1) (l 1 + 1)(l + אברי בסיס. בבסיס החדש, עבור l 1, l נתונים, l מקבל את אחד הערכים מהתחום האפשרי עבורו לפי.. לכל ערך כזה של l, ישנם + 1 l ערכים אפשריים של m. לכן, עבור l 1, l נתונים, מספר האברים 14

l 1+l l= l 1 l (l + 1) = בבסיס החדש הוא (נשתמש בנוסחא לסכום סדרה חשבונית): l 1+l l= l 1 l l + l 1+l l= l 1 l [ ] (l1 + l + l 1 l )(l 1 + l l 1 l + 1) = + [l 1 + l l 1 l + 1] = (l 1 + l + l 1 l + 1)(l 1 + l l 1 l + 1) = (l 1 + l + 1) (l 1 l ) = 1 + l 1 + l + 4l 1 l = (l 1 + 1)(l + 1) כנדרש. לכן, התנאי השני שלנו על מקדמי CG הוא: אם l > l 1 + l או l < l 1 l אז 1. l 1 l m 1 m lm = 0 לסיכום, קיבלנו ש 0 lm l 1 l m 1 m רק אם m = m 1 + m ו m 1 = עבורו l 1 CG בנוסף, נהוג לקבוע באופן שרירותי 1 שמקדם. l 1 l l l 1 + l ו m = l l 1 הוא ממשי וחיובי: l, l l 1, l, l 1, l l 1 = l 1, l, l 1, l l 1 l, l 0 (.3).4. מציאת מקדמי CG = 3 1 l עם = 1.l הערכים נתבונן במקרה לדוגמא בו אנו רוצים לחבר תנע זויתי האפשריים של,l = l 1 + l לפי,. הם: l = 1, 3, 5 נסמן את אברי הבסיס הישן ב, l 1, l, m 1, m ואת החדש ב m. l, כיוון שחייב להתקיים m = m 1 + m נוכל לכתוב מיד: 5, 5 = 3, 1, 3, 1 = 5 m היא כאשר = 3 1 m ו = 1.m כעת נוכל כיוון שהאפשרות היחידה לקבלת להפעיל את האופרטור L על המצב הזה ולקבל, מצד אחד: L 5, 5 = 5 (5 + 1) 5 (5 1) 5, 3 = 5 5, 3 1 מה שרירותי פתאום? כשמגדירים בסיס אורתונורמלי תמיד אפשר להכפיל את אברי הבסיס בפאזה גלובלית e iφ והוא עדיין ישאר בסיס אורתונורמלי. כאן אנחנו פשוט קובעים קונבנציה לבסיס הספציפי הזה. 15

ומצד שני: L 5, 5 = L 3, 1, 3, 1 = (L 1 + L ) 3, 1, 3, 1 = 3 (3 + 1) 3 (3 1) 3, 1, 1, 1 + 1(1 + 1) 1(1 1) 3, 1, 3, 0 = 3 3, 1, 1, 1 + 3, 1, 3, 0 לכן נקבל: 5, 3 3 = 5 3, 1, 1, 1 + 5 3, 1, 3, 0 (.4) :m = 3 כעת נוכל לקבל את המצב האורתוגונלי לו בעל אותו 3, 3 = 5 3, 1, 1 3, 1 + 5 3, 1, 3, 0 (.5) 5 3, 1, 1 3, 1 5 3, 1, 3, 0 יכולנו לבחור גם את המצב האורתוגונלי אבל לא בחרנו בו בגלל הקונבנציה.3. נפעיל את L על כל אחד מהמצבים.4 ו.5. מ.4 נקבל: ( L 5, 3 3 = L 5 3, 1, 1 ), 1 + 5 3, 1, 3, 0 ( 3 = (L 1 + L ) 5 3, 1, 1 ), 1 + 5 3, 1, 3, 0 3 = 5 3, 1, 1, 1 + 3 5 3, 1, 1, 0 + 3 5 3, 1, 1, 0 + לכן: 1, 3, 1, 3 5 5, 1 3 3 = 10 3, 1, 1, 1 + 5 3, 1, 1 1, 0 + 10 3, 1, 3, 1 בתהליך דומה ניתן לקבל מהפעלת L על.5: 3, 1 8 1 = 15 3, 1, 1, 1 + 15 3, 1, 1, 0 + 5 3, 1, 3, 1 = 1 m הוא: המצב האורתונורמלי להם בעל אותו 1, 1 = 1 6 3, 1, 1, 1 1 3 3, 1, 1, 0 + 1 3, 1, 3, 1 16

נרשום חלק ממקדמי CG שקיבלנו עד עתה (בצורה m :( l 1, l, m 1, m l, 3, 1, 3, 1 5, 5 = 1 3, 1, 1, 1 5, 3 = 3 5 3, 1, 3, 0 5, 3 = 5 3, 1, 1, 1 3, 3 = 5 3, 1, 3, 0 3, 3 = 3 5 3, 1, 1, 1 5, 1 = 3 10 3, 1, 1, 0 5, 1 = 3 5 3, 1, 3, 1 5, 1 = 1 10 וכך ניתן להמשיך ולמצוא את כל יתר המקדמים. הם מופיעים, יחד עם מקדמים נוספים, בסוף החוברת הזו. את התהליך שביצענו ניתן לצייר באופן הבא. כל מצב מהבסיס הישן ניתן לתאור באמצעות זוג המספרים m 1 ו m, כאשר הערכים האפשריים עבורם הם: m 1 = 3, 1, 1, 3 m = 1, 0, 1 לכן נצייר מערכת צירים בה ציר אחד הוא m 1 והציר השני הוא m. כל מצב יתואר ע"י 3, 1, 3 = ( 5, 5 הוא עיגול במערכת צירים כזו (איור.1). המצב הראשון שמצאנו ( 1, המצב בפינה הימנית העליונה של הגרף. לאחר מכן הפעלנו עליו את L וקיבלנו קומבינציה לינארית של שני המצבים שנמצאים על הקו האפור האלכסוני שמתחת לנקודה הימנית העליונה. האלכסונים האפורים מייצגים מצבים בעלי אותו ערך של m. = m 1 + m הפעלה נוספת של L הורידה אותנו לקומבינציה לינארית של שלושת המצבים שעל האלכסון האפור השני וכו'..4.3 נוסחת נסיגה למקדמי CG אפשר להשתמש בטריק כדי לקבל נוסחת נסיגה למקדמי.CG הטריק הוא לכתוב את lm l 1 l m 1 m L + l 1 l בשתי דרכים שונות: 1. נפעיל את + L ימינה: l 1 l m 1 m L + l 1 l lm = l(l + 1) m(m + 1) l 1 l m 1 m l 1, l, l, m + 1 17

.l עם = 1 l 1 = 3 איור.1: המצבים המשולבים של חיבור תנע זויתי. נפעיל את ) + L) שמאלה. כדי לעשות זאת, נזכור כי: (L + ) = L = L 1 + L ולכן: l 1 l m 1 m L + l 1 l lm = l 1 (l 1 + 1) m 1 (m 1 1) l 1, l, m 1 1, m l 1 l lm + l (l + 1) m (m 1) l 1, l, m 1, m 1 l 1 l lm מהשוואת שני הביטויים נקבל את נוסחת הנסיגה החיננית: l 1 l m 1 m l, m + 1 = + l1 (l 1 + 1) m 1 (m 1 1) l 1 l, m 1 1, m l 1 l lm l(l + 1) m(m + 1) l (l + 1) m (m 1) l 1, l, m 1, m 1 l 1 l lm l(l + 1) m(m + 1) באופן דומה אפשר להגיע לנוסחת נסיגה נוספת (חיננית באותה מידה) אם עושים את אותו טריק עבור lm. l 1 l m 1 m L l 1 l בפועל זה מאד מסורבל, וניתן למצוא ערכים של מקדמי CG מחשובים מראש בספרים ובאתרי אינטרנט. 1.5 חיבור של שני ספינים עבור חלקיק אחד יש לנו בסיס שמורכב מהמצבים העצמיים של האופרטורים S ו S z אותו s = 1, m = +1 s = 1, m = 1 נסמן כך: 18

לכן הבסיס המיידי עבור המרחב המשולב של שני חלקיקים הוא: {,,, } זהו בסיס של מצבים עצמיים של האופרטורים S, S, 1 S, z S, 1z ואנו רוצים לעבור לבסיס של מצבים עצמיים של האופרטורים S,S 1,S,S z (כאשר, בדומה לקודם, = S ) (S 1 + S הוא הספין הכולל ו.(S z = S 1z + S z נשים לב שלפי. הערכים האפשריים של s הם = 0 s (ואז = 0 (m או = 1 s (ואז 1, 0, 1 =.(m כדי לא להסתבך יותר מדי, נעבוד ביחידות = 1. = 1 1,m = 1,m נקבל: כיוון שהמצב מייצג את S z = S 1z + S z = 1 + 1 = כלומר, המצב הוא מצב עצמי של S z עם ערך עצמי = 1 m. כעת: S + = S 1+ + S + = 0 + 0 = 0 מהזהות השימושית S = S S + + S z + S z נקבל: S = 0 + + = = 1(1 + 1) כלומר, המצב הוא מצב עצמי גם של S עם ערך עצמי = 1 s. באופן דומה, אפשר לקבל שהמצב הוא מצב עצמי של S z עם ערך עצמי 1 = m, ומצב עצמי של S עם ערך עצמי = 1 s. נותר למצוא את המצב העצמי בעל הערכים העצמיים = 0 m, s, = 1 ואת המצב בעל הערכים העצמיים = 0 m, s. = 0 לשם כך נפעיל את S על המצב. S = S s = 1, m = 1 = s(s + 1) m(m 1) s = 1, m = 0 = s = 1, m = 0 S = S 1 + S 1 = (1 + 1) 1 (1 1) + = + מצד אחד: מצד שני: 1 (1 + 1) 1 (1 1) 19

לכן: s = 1, m = 0 = + את המצב הרביעי והאחרון 0 = m s, =,0 נוכל למצוא מהדרישה שיהיה אורתונורמלי לשלושת המצבים האחרים. סה"כ נקבל: s 1 = 1, s = 1, s = 1, m = 1 = s 1 = 1, s = 1, s = 1, m = 0 = 1 ( + ) s 1 = 1, s = 1, s = 1, m = 1 = s 1 = 1, s = 1, s = 0, m = 0 = 1 ( ) שלושת המצבים הראשונים (1 = s) נקראים מצבי ה"טריפלט", והמצב הרביעי נקרא מצב ה"סינגלט". נשים לב, שאם ניצור שני אלקטרונים במצב הסינגלט, ולאחר מכן נמדוד את הספין של אחד מהם, אז השני חייב יהיה לקבל את הספין ההפוך. זה נכון אפילו אם נותנים לשני האלקטרונים להתרחק מאד אחד מהשני, כלומר, מדידת הספין של אלקטרון כאן, משפיעה באופן מיידי על אלקטרון שם! למרות שזה לכאורה סותר את תורת היחסות הפרטית, ניתן להראות שאי אפשר להשתמש במנגנון הזה להעברת מידע יותר מהר ממהירות האור. בכל זאת, זה די הרגיז את איינשטיין, וזה עמד במרכז הויכוח שהתנהל בזמנו על מה שנקרא פרדוקס.EP R.6 טנזורים קרטזיים, ספריים ואי פריקים על מנת לנסות ולהבין את הנושא הזה כמו שצריך, יש לטפל בו באופן פורמלי ומסודר עד כמה שניתן. נתחיל בדיון על סיבובים..6.1 אופרטור הסיבוב במכניקה הקוונטית אנחנו יודעים שבמכניקה הקלאסית ניתן לסובב מערכת ע"י הפעלה של טרנספורמציית סיבוב R. במכניקה הקוונטית, נשאלת השאלה, מה קורה למצב α לאחר סיבוב של המערכת בהתאם לטרנספורמציה R? המצב α יעבור למצב חדש α, ולכן לכל טרנספורמציית סיבוב R, נזהה אופרטור D(R) כך ש D(R) α α. = כלומר, סיבוב המערכת ב R כמוה כהפעלת האופרטור D(R) על המצבים. אבל, מהו האופרטור הזה,D(R) וכיצד הוא קשור לטרנספורמציה R? כל טרנספורמציית סיבוב R ניתנת לתיאור באמצעות סדרת טרנספורמציות R i שכל אחת מהן מתוארת ע"י זוית α ווקטור יחידה nˆ, כך שהטרנספורמציה R i מסובבת את המערכת בזוית α סביב ציר בכיוון nˆ (זה הרעיון מאחורי זויות אוילר). נסמן את האופרטור המתאים ב (α.d(ˆn, על מנת למצוא את האופרטור הזה נתחיל ממקרה פשוט, בו nˆ. = ẑ טענה: אופרטור הסיבוב בזוית α סביב ציר,z הוא:.D(ẑ, α) = e i αlz 0

.L z = i (x d dy y d הוכחה: את האופרטור L z הגדרנו בקורדינטות קרטזיות כ ) dx.l z = i d יהי כעת ϕ) ψ(r, θ, מצב כלשהו (בהצגת מיקום). dϕ בקורדינטות כדוריות נקבל נתבונן במצב המתקבל ע"י הפעלת האופרטור D(ẑ, α) = e i αlz על :ψ [ e i αlz ψ(r, θ, ϕ) = 1 + i αl z + 1 ( i ] αl z) +... ψ(r, θ, ϕ) [ = 1 + α d dϕ + 1 ] d α dϕ +... ψ(r, θ, ϕ) = ψ(r, θ, ϕ) + d dϕ ψ(r, θ, ϕ) α + 1 dϕ ψ(r, θ, ϕ) α +... = ψ(r, θ, ϕ + α) כלומר, האופרטור e i αlz מסובב את ψ בזוית α סביב ציר ẑ. d עקב כך, אומרים שהאופרטור L z הוא "יוצר" של סיבובים סביב ציר z. באופן דומה ניתן להראות ש L x הוא "יוצר" של סיבובים סביב ציר x וש L y הוא "יוצר" של סיבובים סביב ציר y. מכאן נוכל להכליל את הטענה ולקבל: טענה: אופרטור הסיבוב בזוית α סביב ציר בכיוון nˆ, הוא: D(ˆn, α) = e i αl ˆn (.6) ההוכחה דומה לזו של הטענה הקודמת. כדי להיות עקביים עם מה שרשום בספרים, מעתה נציין את התנע הזויתי הכולל ב J במקום ב L. כעת נעבור להסתכל על המטריצה שמייצגת את האופרטור (α D(ˆn, (או בקיצור D). כיצד היא נראית כשמציגים אותה בבסיס של מצבים עצמיים של J ו J? z מסתבר שהיא איננה אלכסונית בבסיס זה, אבל כמעט... עבור j נתון, אברי המטריצה הם: D (j) m m j, m D(R) j, m (.7) = j, m e i αj ˆn j, m (.8) מדוע לא להתבונן באלמנטי מטריצה בין j שונים? התופעה המעניינת היא שאיברי המטריצה של D מתאפסים עבור j שונים. טענה: = 0 m j, m D j, עבור j.j הוכחה: ראשית נראה כי = 0 ],D]. J זה נכון, כי J מתחלף עם כל אחד מהרכיבים שלו (בפרט עם הרכיב בכיוון nˆ), ולכן גם עם כל פונקציה של הרכיבים שלו (בפרט עם e). 1 αj ˆn J D j, m = DJ j, m לכן, = 0 ].[D, J מכאן שנוכל לרשום: = j(j + 1) D j, m 1

איור.: צורת המטריצה המייצגת את D בבסיס. jm איור.3: אי פריקות של כל בלוק "שווה j " במטריצה D. כלומר, m D j, הוא מצב עצמי של J עם ערך עצמי,j(j + (1 ולכן אורתוגונלי לכל מצב עצמי m j, עם.j j ננסה לצייר כעת את המטריצה המייצגת את D לפי בסיס של המצבים m,j. לכל ערך של j יהיו לנו + 1 j ערכי,m כלומר + 1 j עמודות ו + 1 j שורות במטריצה שמתאימות לאותו ערך של j. זהו בלוק אשר מורכב מהאלמנטים ב.8. מהמשפט הנ"ל קיבלנו שבאותן שורות של הבלוק, אך בעמודות השייכות ל j אחר, המטריצה מתאפסת. וכן, באותן עמודות של הבלוק אך בשורות השייכות ל j אחר המטריצה מתאפסת. לסיכום, קיבלנו שבבסיס של מצבים עצמיים m,j המטריצה המייצגת את D היא בצורה של מטריצת בלוקים אלכסונית (איור.), כאשר כל בלוק הינו בגודל (1 + j) j). + (1 זאת ועוד, כל בלוק כזה, לא ניתן לפירוק נוסף לבלוקים אחרים (איור.3). נוכיח זאת. טענה: יהי,jɛN אז לא קיים תת מרחב של j} V j = span { j, m : m = j, j + 1,..., שהוא אינווריאנטי לסיבובים.

הוכחה: נניח בשלילה שקיים תת מרחב,U j V j כך ש.D : U j U j יהי. ψ U j נבחר בסיס ל U, j כך ש ψ הינו איבר בבסיס זה. בלא הגבלת הכלליות נניח כי j ψ =,j עד כדי פקטור מספרי שכרגע לא מעניין אותנו. רגע, למה זה לא מגביל את הכלליות? נניח ש j ψ,,j אז ניקח מטריצה אוניטרית כלשהי P, כך ש j, ψ = P j, ונגדיר את האופרטורים ip.j i = P J כיוון ש J i הם דומים (לפי הגדרה מאלגברה לינארית) ל J, i נובע שיש להם את אותם ערכים עצמיים כמו ל J. i הוקטורים העצמיים הם m, j, m = P j, כאשר ψ. j, j = מעתה והלאה פשוט נוותר על ה ים, ולכן מותר לנו להניח כי j ψ. =,j נפעיל כעת סיבוב אינפינטיסמלי ε ל ψ. במקרה זה נוכל לרשום: D = 1 iεj ˆn זה פשוט פיתוח עד סדר ראשון של.6, כאשר רשמנו ε במקום α, ו J במקום L. לכן: ψ = D ψ = D j, j ( = 1 = iεj ˆn ) j, j [ 1 iε (J ˆn + + J +ˆn + J z ˆn z ) ] j, j כאשר: ˆn ± = ˆn x ± iˆn y כיוון ש J + j, j = 0 J z j, j = j j, j ו J jj = j j, j 1 ( ) 1 ψ = (1 ijεˆn z ) j, j i jεˆn + j, j 1 נקבל: לפי ההנחה,D : U j U j לכן. ψ U j מכיוון שגם ijεˆn z ) j, j U j,(1 נובע ש. j, j 1 U j באופן דומה נוכל להראות שכל + 1 j הוקטורים j j, j,..., j, j 1, j, שייכים ל.U j כיוון שכולם אורתוגונאליים זה לזה, נובע ש.U j = V j נקבל U j V j ומההנחה ש,dimU j = j + 1 = dimv j 3

נוכל כעת לראות מה קורה למצב כלשהו ψ כאשר מפעילים עליו את האופרטור D. בבסיס m,j עלינו פשוט להכפיל את המצב ψ במטריצת הבלוקים המייצגת את D. בגלל מבנה הבלוקים, הכפלה זו תגרום לערבוב של הרכיבים של ψ בעלי אותו j, אך לא תערבב בין רכיבים בעלי ערכי j שונים. כלומר, תתי המרחבים בעלי אותו j הם אינווריאנטיים תחת הפעלת האופרטור D. בנוסף, כפי שהראנו, לא קיימת תת קבוצה של אותו j שהיא אינווריאנטית. זו מסקנה חשובה ביותר אשר תשמש אותנו בהמשך לצורך הגדרה של טנזורים אי פריקים..6. וקטורים (קלאסיים) ואופרטורים וקטוריים (קוונטיים) במכניקה הקלאסית, הגדרנו וקטור לפי האופן בו הרכיבים שלו עוברים טרנספורמציית סיבוב. הגדרה: תהי R טרנספורמציית סיבוב. נאמר ש ) 3 V = (V 1, V, V הוא וקטור (או יותר נכון, ייצוג של וקטור במערכת כלשהי), אם תוצאת הפעלת טרנספורמציית סיבוב עליו, V i =,V = RV מקיימת: 3 R ij V j (.9) j=1 לכל = 1,, 3,i ולכל טרנספורמציית סיבוב.R נרצה להכליל את ההגדרה של וקטור גם למכניקה הקוונטית. כעת, כל רכיב הוא אופרטור, ולכן במקום וקטור נאמר "אופרטור וקטורי", ובמקום לדרוש תנאי על הרכיבים נדרוש תנאי על ערכי התצפית שלהם. הגדרה: תהי R טרנספורמציית סיבוב, ויהי α מצב כלשהו. נאמר ש ) 3 ˆV = ( ˆV 1, ˆV, ˆV הוא אופרטור וקטורי, אם תוצאת הפעלת טרנספורמציית סיבוב עליו, Vˆ = R Vˆ, מקיימת: α V ˆ i α = 3 R ij α ˆV j α (.10) j=1 לכל = 1,, 3 i ולכל טרנספורמציית סיבוב.R ההגדרה הזו לאופרטור וקטורי היא קצת מסורבלת. נרצה למצוא הגדרה פשוטה וכללית יותר לאופרטור וקטורי, שלא תכיל טרנספורמציות סיבוב וסכימות. לשם כך נתחיל בהתייחסות לבעיה בהגדרת התנע הזויתי. את התנע הזויתי הקוונטי הגדרנו כמו התנע הזויתי הקלאסי, רק עם אופרטורים: L = r p הבעיה היא שההגדרה הזו לא תקפה לספין, שגם הוא סוג של תנע זויתי. למעשה הספין איננו מתקבל כהכללה של תכונה קלאסית כלשהי, ולכן נצטרך למצוא הגדרה חדשה לתנע זויתי, אשר לא תתבסס על המכניקה הקלאסית. 4

הגדרה: שלשת אופרטורים J 1, J, J 3 תקרא תנע זוויתי אם מתקיים: [J i, J j ] = iɛ ijk J k עבור = 1,, 3 k.i, j, את שלשת האופרטורים נסמן ) 3.J = (J 1, J, J בנוסף, נגדיר את אופרטורי הסולם, כרגיל,.J ± = J 1 ± ij כעת נוכל להגדיר אופרטור וקטורי באופן הבא: הגדרה: יהי ) 3 J = (J 1, J, J תנע זויתי. שלשת אופרטורים ) 3 V = (V 1, V, V תקרא אופרטור וקטורי אם מתקיים [V i, J j ] = iɛ ijk V k (.11) עבור = 1,, 3 k.i, j, האופרטורים V i נקראים הרכיבים הקרטזיים של V (אנו מוותרים על הכובע לציון אופרטור). ההגיון הוא שהתנע הזויתי הוא היוצר של סיבובים ולכן יכול לשמש להגדרת סקלרים ווקטורים. דוגמא: ניתן לראות כי J בעצמו הינו אופרטור וקטורי (זה נובע באופן מיידי מההגדרה). ננצל את ההזדמנות כדי להגדיר גם אופרטור סקלרי. כפי שניתן לצפות: הגדרה: יהי ) 3 J = (J 1, J, J תנע זויתי. אופרטור S יקרא אופרטור סקלרי אם מתקיים [S, J i ] = 0 עבור = 1,, 3.i דוגמא: ההמילטוניאן H של חלקיק חופשי, או של חלקיק בפוטנציאל מרכזי, הוא אופרטור סקלרי. הערה: אופרטור יכול להיות וקטורי עבור תנע זויתי מסויים וסקלרי עבור תנע זויתי אחר. עוד הערה: את ההגדרה של תנע זויתי אפשר לנסח בתור "אופרטור יקרא תנע זויתי אם הוא שייך להצגה של החבורה."SU() בכלל, כל הנושא של חיבור תנע זויתי מקבל הקשר הרבה יותר אלגנטי דרך הצגות של חבורות, אבל מכיוון שלא בוחרים ללמד את זה כך, נמשיך בגישה שהתחלנו בה. נסכם את מה שעשינו עד כה: הגדרנו וקטור קוונטי, שקראנו לו אופרטור וקטורי, באופן דומה למה שאנחנו מכירים מוקטורים קלאסיים. כלומר, הגדרנו אופרטור וקטורי לפי ההתנהגות שלו תחת סיבובים. אחרי זה, שמנו לב שאנחנו לא כל כך אוהבים סיבובים, ולכן נתנו הגדרה כללית יותר לאופרטור וקטורי, ועל הדרך גם הגדרנו את התנע הזויתי באופן יותר כללי כדי שיכלול גם ספין. עכשיו אנחנו צריכים להראות ששתי ההגדרות שלנו לאופרטור וקטורי הן שקולות. טענה: שתי ההגדרות שנתנו לאופרטור וקטורי הן שקולות. 5

הוכחה: נתחיל בהגדרה הראשונה. אמרנו למעלה שסיבוב מערכת לפי טרנספורמציה R כמוה כהפעלת האופרטור D(R) על המצבים. לכן במקום התנאי.10 נוכל לרשום: α V i α = α V i α = α D (R)V i D(R) α (.1) עבור אופרטור וקטורי, הקשרים.10 ו.1 צריכים להתקיים לכל מצב α, לכן נקבל את D (R)V i D(R) = המשוואה האופרטורית: 3 R ij V j (.13) כעת, נתבונן במקרה פרטי של סיבוב אינפינטיסמלי בזוית קטנה ε. במקרה זה נוכל לרשום j=1 (כפי שעשינו קודם): ( 1 + D(R) = 1 ) ( iεj ˆn V i 1 iεj ˆn ) iεj ˆn = V i + ε i [V i, J ˆn] = נציב זאת לתוך.13 ונקבל: 3 R ij V i j=1 3 R ij V i (.14) j=1 כאשר אנו מזניחים את האיבר מסדר ε. בפרט, עבור nˆ בכיוון ציר z, מטריצת הסיבוב R = 1 ε 0 ε 1 0 0 0 1 i = 1 : V 1 + ε i [V 1, J z ] = V 1 εv i = : V + ε i [V, J z ] = εv 1 + V i = 3 : V 3 + ε i [V 3, J z ] = V 3 הינה: ולכן.14 הופכת ל: אם נעשה את אותו דבר גם סביב צירים אחרים נקבל: [V i, J j ] = iɛ ijk V k ההוכחה במקרה הכללי, עבור סיבובים סופיים, הינה דומה, כאשר יש להשתמש בפיתוח המלא של.6 לטור (ולא רק בסדר ראשון כפי שעשינו כאן). 6

עתה משהגדרנו תנע זויתי נוכל להוכיח טענה שהסתמכנו עליה מההתחלה. טענה: יהיו L 1 ו L תנעים זויתיים. אז, J = L 1 + L הוא גם תנע זויתי. הוכחה: [J x, J y ] = [L 1x + L x, L 1y + L y ] = [L 1x, L 1y ] + [L 1x, L y ] + [L x, L 1y ] + [L x, L y ] = il 1z + 0 + 0 + il z = ij z ובאופן דומה ליתר הרכיבים..6.3 טנזורים השלב המתבקש הבא (אם כי לא ברור מי מבקש) הוא להכליל את ההגדרה מוקטורים לטנזורים קרטזיים בדרגה כלשהי. זה כמובן הולך להיות לא נעים, כי עכשיו יהיו לנו הרבה מאד אינדקסים. במכניקה הקלאסית, מכלילים את.9 ומגדירים טנזור כאוסף של רכיבים אשר עוברים טרנספורמצית סיבוב כך: T ijk... i j k R ii R jj R kk T i j k... (.15) כאשר ijk... T נקראים הרכיבים הקרטזיים של הטנזור T, ומספר האינדקסים המתארים כל רכיב נקרא דרגת הטנזור. את הדוגמא הכי פשוטה לטנזור קרטזי אפשר לבנות אם ניקח שני וקטורים קרטזיים U, ו V ונעשה להם את זה: T ij U i V j (.16) זהו טנזור קרטזי מדרגה. קיבלנו 9 רכיבים סה"כ שעוברים טרנספורמציה כפי שנדרש ע"י.15. אבל, לא רק ש.15 היא הגדרה מסורבלת, יש עוד בעיה עם טנזורים קרטזיים. נתבונן למשל בטנזור הפשוט שהגדרנו ב.16. ניתן לכתוב אותו בצורה המוזרה הבאה: ( ) ( ) ( U V Ui V j U j V i Ui V j + U j V i U i V j = δ ij + + U V ) δ ij (.17) 3 3 כך, כתבנו את הטנזור כסכום של שלושה מחוברים שכל אחד מהם עובר טרנספורמציה באופן אחר. ניתן לראות כי המחובר הראשון עובר כמו סקלר, והשני עובר כמו ווקטור. במילים אחרות, המחובר הראשון הוא אופרטור סקלרי (יש בו רק איבר אחד, כלומר הוא מדרגה 1), השני אופרטור וקטורי (יש לו 3 רכיבים בלתי תלויים, כלומר הוא מדרגה 3), והשלישי אופרטור טנזורי שנקרא traceless tensor (והוא מדרגה 5). שהטנזור.16 ניתן לפירוק, או פריק. במקרה זה נאמר הגדרה: אופרטור טנזורי קרטזי יקרא פריק אם ניתן לכתוב אותו כסכום של אופרטורים טנזוריים מדרגות שונות. 7

.6.4 טנזורים אי פריקים השאלה המתבקשת היא, האם קיימים טנזורים שהם לא פריקים (או אי פריקים)? נתחיל בלהתבונן בפירוק.17, ונשאל האם כל אחד מהמחוברים הוא אי פריק? כדי לענות על השאלה הזו, עלינו למצוא טנזורים בעלי 3 1, ו 5 רכיבים, כך שתחת סיבובים, אוסף הרכיבים הללו עוברים טרנספורמציה בתוך עצמם. ראינו בסוף חלק.6.1 שבדיוק כך מתנהג אוסף של מצבים עצמיים m,j בעלי אותו j! כלומר האוסף j} { j, m : m = j, j + 1,.., מכיל + 1 j איברים והוא אינווריאנטי לסיבובים. לכן נבחר להגדיר באמצעותו את הטנזורים הכדוריים האי פריקים ("כדוריים" כדי להזכיר לנו שהרעיון להגדרתם הגיע מההרמוניות הכדוריות m,j, הלא הם ה Y). lm } הגדרה: אופרטור טנזורי כדורי { אי פריק מדרגה k, הינו אוסף של + 1 k אופרטורים T, (k) = T q אשר עוברים טרנספורמציית סיבוב כמו המצבים (k) : q = k, k + 1,..., k :m = q ו j = k עם j, m DT q (k) D = D (k) q q T q (k) q D k, q = q D (k) q q k, q T q נקראים "הרכיבים (k) הינו אלמנט מטריצה כפי שמסומן ב.7. האופרטורים D (k) כאשר q q הכדוריים של הטנזור (k) T", או כדי לבלבל, לפעמים קוראים להם "טנזורים כדוריים". בדומה להגדרה של אופרטור וקטורי, גם כאן נוכל להשתמש בהגדרה שקולה אשר איננה משתמשת בטרנספורמציות סיבוב. במקרה זה לא נוכיח את שקילות ההגדרות, למרות שהן אכן שקולות. הגדרה: יהי J תנע זויתי. אופרטור טנזורי כדורי אי פריק מדרגה k הינו אוסף של + 1 k { } אופרטורים T (k) = T q המקיימים: (k) : q = k, k + 1,..., k [J z, T q (k) ] = qt q (k) [J ±, T q (k) ] = k(k + 1) q(q ± 1)T (k) q±1 דוגמא: יהי V אופרטור וקטורי, עם רכיבים קרטזיים V 1, V, V 3 אז V (1) 1 = 1 (V 1 + iv ) V (1) 0 = V 3 V (1) 1 = 1 (V 1 iv ) (.18) מהווים רכיבים כדוריים של טנזור (1) V מדרגה 1. בפרט, ניתן לכתוב את התנע הזויתי J כטנזור כדורי מדרגה 1. 8

כך: דוגמא: המצבים m,l עצמם ניתנים לכתיבה כאופרטורים טנזוריים כדוריים אי פריקים C (k) q (θ, ϕ) = 4π k + 1 Y kq(θ, ϕ).6.5 מה הקשר לחיבור תנע זויתי? כעת מגיעה הפואנטה של כל הפיתוח למעלה. T q אופרטור טנזורי כדורי אי פריק. תוצאת הפעלתו על מצב m,j מתנהגת טענה: יהי (k) תחת סיבובים כמו המצב m,k. q,j בצורה לא פורמלית אפשר להגיד שהפעלה של. k, q תנע זויתי j, m זה כמו להוסיף ל j, m על T q (k) T q תחת סיבובים: הוכחה: נבדוק מה קורה למצב m (k),j DT q (k) j, m = DT q (k) D D j, m ( ( = D ) DT (k) q = q m m D (j) m m j, m D (k) q q D(j) m m T q (k) j, m וכך בדיוק מסתובב המצב m. k, q j, ) (k) T שהם רכיבים כדוריים המשפט הזה מאפשר לנו להסיק הרבה מידע לגבי אופרטורים q של טנזור אי פריק. כך למשל:. j k j j + k ו m = m + q רק אם j, m T q מסקנה: 0 m (k) j, הוכחה: זה בדיוק התנאי שקיבלנו עבור התאפסות של מקדמי,CG כאשר אנו מתייחסים,k. q ו,j m כאל מצב של חיבור תנעים זויתיים T q למצב m (k) j, (k) T למקדמי CG הוא יותר רחב: אבל הקשר בין אלמנטי מטריצה של q T q רכיב כדורי של טנזור אי פריק. נניח משפט Eckart) :(W igner יהי האופרטור (k) מצב קוונטי τjm המאופיין ע"י המספרים הקוונטים,j m (תנע זויתי) ו τ (המייצג את כל המספרים הקוונטיים המאפיינים את המצב, מעבר לתנע הזויתי), אזי: τ j m T q (k) 1 τjm = j + 1 τ j T (k) τj kjqm j m 9

כאשר τj τ j T (k) הוא גורם כלשהו אשר תלוי בטנזור (k) T וב τ, τ, j, j אך אינו תלוי ב q, ב m וב m. T q הוא פרופורציוני למקדם מה שהמשפט הזה בעצם אומר הוא שאלמנט מטריצה של (k) k). עד k לקבל ערכים מ (שיכול q עם אותו מקדם פרופורציה לכל CG T q עוברים טרנספורמציה בדיוק כמו מצבים הוכחה: כפי שראינו קודם, המצבים jm (k) τ של חיבור תנע זויתי m,k. q,j לכן, ניתן להשתמש בהם כדי לבנות מצבים עצמיים של σj tot m tot = q,m J ו,J z באמצעות מקדמי,CG בדומה ל :.1 kjqm j tot m tot T q (k) τ jm T (k) q τjm = τ j m T (k) q τjm = j tot,m tot kjqm j tot m tot σj tot m tot לכן (עבור המעבר ההפוך): נכפיל משמאל ב m τ j ונקבל: j tot,m tot kjqm j tot m tot τ j m σj tot m tot מהאורתוגונליות של מצבי jm נקבל שהאיבר tot τ j m σj tot m שונה מאפס רק עבור j j tot = ו m m. tot = נראה כי במקרה זה, הוא אינו תלוי ב m (שוב, נמנע מהסתבכויות τ, j, m 1 σ, j, m 1 = τ j m J + J σj m j (j + 1) m (m 1) ונקבע = 1 :( = τ j m J + J z Jz σj m j (j + 1) m (m 1) ( j (j + 1) + m m ) τ j m σj m = = τ j m σj m j (j + 1) m (m 1) קיבלנו, m, τ, j, m 1 σ, j, m 1 = τ j m σj כלומר אין תלות ב,m ולכן ניתן לכתוב איבר זה כפי שהוא כתוב בניסוח של המשפט, וסיימנו. מסקנה (משפט ההטלה): יהי V אופרטור וקטורי ו J תנע זויתי. נסמן ב (1) V ו (1) J את הטנזורים הכדוריים האי פריקים (מדרגה 1) המתקבלים מ V ו J לפי.18. אז: j, m V (1) q j, m = j, m J V j, m j, m J q (1) j, m j(j + 1) 30

j, m J V j, m = j, m J z V z + 1 (J +V + J V + ) j, m = m j, m V z j, m הוכחה: נרשום: + j(j + 1) m(m 1) j, m 1 V j, m + j(j + 1) m(m + 1) j, m + 1 V+ j, m j, m V z j, m j, m 1 V j, m j, m + 1 V + j, m לפי משפט W igner Eckart כל אחד מ ניתן לכתיבה כקבוע כלשהו (התלוי ב m ו j) כפול j, j V (1) כלומר: j, m J V j, m = C jm j V (1) j (.19) למעשה C jm אינו תלוי ב m כי J V אופרטור סקלרי, לכם נוכל לרשום אותו כ C. j נציב V = J ב.19 ונקבל: j, m J j, m = C j j J (1) j (.0) j, m V q (1) j, m j, m J q (1) j, m = j V(1) j j J (1) j ממשפט W igner Eckart נובע: נציב את.19 ו.0 לאגף שמאל ונקבל: j, m V (1) q j, m j, m J (1) q j, m = = j, m J V j, m j, m J j, m j, m J V j, m j(j + 1) j, m J q וסיימנו. נכפיל פי m j, (1) הערה: יש כאן חור די משמעותי בהוכחה של משפט W igner Eckart בכך ש "עוברים טרנספורמציה כמו" זה לא "שווים ממש". השיטה האמיתית להוכחת המשפט הזה ולהבנה יותר מעמיקה של כל נושא הסיבובים וסימטריות בכלל היא, כאמור, דרך הצגות של חבורות ואלגבראות, ובפרט חבורות ואלגבראות לי Algebras).(Lie Groups/Lie ניתן לקרוא על כך (ולראות הוכחה מתמטית למשפט (W igner Eckart למשל בספר.Brian Hall של Lie Groups, Lie Algebras and Representations 31

.7 סיכום 1. אנו רוצים לחבר תנע זויתי כדי לטפל בחלקיקים בעלי תנע זויתי אוריבטלי וספין, כדי לטפל במקרה של מספר חלקיקים, וכו'.. כיוון שהגודל הנשמר הוא בד"כ התנע הזויתי הכולל, אנו מעוניינים לעבור מבסיס של מצבים עצמיים של האופרטורים,L 1, L, L 1z, L z לבסיס של מצבים עצמיים של האופרטורים.L 1, L, L, L z 3. מקדמי המעבר בין הבסיסים נקראים מקדמי (CG).Clebsch Gordan מצאנו תנאים להתאפסות מקדמים אלו, שיטה לחישוב מפורש שלהם ונוסחאות נסיגה עבורם. 4. עברנו מטרנספורמציות סיבוב קלאסיות לאופרטורי סיבוב קוונטיים. אופרטורי סיבוב אלו קשורים באופן הדוק לתנע הזויתי. 5. בבסיס של מצבים עצמיים של התנע הזויתי, המטריצות המייצגות את אופרטורי הסיבוב הן מטריצות בלוקים אלכסוניות. כך, הפעלתן על מצב כלשהו אינה מערבבת בין רכיבים של ערכי j שונים. עובדה זו שימשה אותנו בהגדרה של אופרטורים טנזוריים כדוריים אי פריקים. 6. פרט לכך, הגדרנו אופרטורים סקלריים ואופרטורים וקטוריים (הן כהכללה של וקטורים קלאסיים (התנהגות תחת סיבובים), והן באמצעות יחסי חילוף עם אופרטורי תנע זויתי). 7. הגדרנו באופן כללי אופרטורי תנע זויתי. 8. הראנו כי הפעלה של אופרטור שהינו רכיב של טנזור כדורי אי פריק כמוה כהוספת תנע זויתי (מבחינת ההתנהגות תחת סיבובים). 9. על כן, נוכל להסיק מידע על כל אופרטור מסוג זה באמצעות התכונות הידועות לנו על מקדמי.CG המשפט המאפשר זאת הינו משפט W. igner Eckart 3

פרק 3 שיטות קירוב 3.1 הקדמה זה לא סוד שפיסיקאים לא יודעים לפתור הרבה בעיות. בפרט, יש הרבה המילטוניאנים חשובים שלא יודעים למצוא עבורם מצבים עצמיים וערכים עצמיים. לשם כך, מנסים למצוא פתרונות מקורבים. אחת השיטות לכך (הנקראת תורת ההפרעות) מניחה שההמילטוניאן שאנחנו רוצים לפתור קרוב להמילטוניאן שאנחנו יודעים לפתור. שיטה שניה (הנקראת וריאציה) מבוססת בעיקר על ניחושים מושכלים. 3. תורת ההפרעות שאיננה תלויה בזמן נניח שאנחנו רוצים למצוא וקטורים עצמיים וערכים עצמיים להמילטוניאן H, כלומר רוצים לפתור את: H n = E n n (3.1) אבל, למרבה הצער, אין לנו מושג כיצד לעשות זאת. במקרה הזה אנו מניחים שאפשר לרשום את ההמילטוניאן כ H = H 0 + λv (3.) כאשר H 0 הוא המילטוניאן שעבורו אנחנו יודעים לפתור את בעיית הערכים העצמיים, ו 1 λ. H 0 נקרא ההמילטוניאן ה"לא מופרע", λv נקראת ה"הפרעה" ו H נקרא ההמילטוניאן ה"מופרע". אמרנו שאת בעיית הערכים העצמיים של H 0 אנחנו יודעים לפתור, אז נניח שפתרנו ויש לנו E. n אנחנו מחפשים את המצבים העצמיים שלו (0) n ואת הערכים העצמיים המתאימים (0) את המצבים העצמיים של H, אותם נסמן ב n ואת הערכים העצמיים המתאימים E. n 33

נניח שאת המצבים העצמיים ואת הערכים העצמיים הללו אפשר לפתח בטור של λ ות לכל n בנפרד: n = n (0) + λ n (1) + λ n () +... (3.3) E n = E (0) n + λe (1) n + λ E () n +... נציב זאת יחד עם 3. לתוך 3.1 ונקבל: ( ) ( ) ( ) (H 0 + λv ) n (0) + λ n (1) +... = E n (0) + λe n (1) +... n (0) + λ n (1) +... נפתח סוגריים, ונשווה את המקדמים של λ k לכל k: λ 0 : H 0 n (0) = E (0) n n (0) (3.4) λ 1 : H 0 n (1) + V n (0) = E (0) n n (1) + E (1) n n (0) (3.5) λ : H 0 n () + V n (1) = E n (0) n () + E n (1) n (1) + E n () n (0) (3.6).. לפני שנמשיך נציין שאנחנו מניחים נרמול של המצבים כך ש = 1 n n (0) לכל λ. לכן, עבור = 0 λ ההנחה שלנו אומרת (מתוך (3.3 ש = 1 (0) n, n (0) ולכן גם.i לכל 0 n (0) n (i) = 0 המשוואה 3.4 היא מה שאנחנו יודעים (בעיית ערכים עצמיים להמילטוניאן הלא מופרע). את המשוואה 3.5 נכפיל משמאל ב (0) n ונקבל: n (0) H 0 n (1) + n (0) V n (0) = n (0) E (0) n n (1) + n (0) E (1) n n (0) E (0) n n (0) n (1) + n (0) V n (0) = E (0) n n (0) n (1) + E (1) n n (0) n (0) E (1) n = n (0) V n (0) (3.7) זהו התיקון הראשון לאנרגיה. על מנת למצוא את התיקון הראשון למצב העצמי, כלומר את (1) n, נכתוב אותו בבסיס של המצבים העצמיים (0) m של H 0 שאותם אנחנו יודעים: n (1) = m n m (0) n (1) m (0) (3.8) הסיבה שהסכום הוא על m n היא ש = 0 (1) n n (0) בהתאם לנרמול שהזכרנו קודם. נכפיל כעת את המשוואה 3.5 משמאל ב (0) m (עבור m) n ונקבל: m (0) H 0 n (1) + m (0) V n (0) = m (0) E (0) n n (1) + m (0) E (1) n n (0) E m (0) m (0) n (1) + m (0) V n (0) = E n (0) m (0) n (1) + E n (1) m (0) n (0) ( ) E n (0) E m (0) m (0) n (1) = m (0) V n (0) (3.9) m (0) n (1) = m(0) V n (0) E n (0) E m (0) (3.10),E n (0) E m כלומר, אם למצבים כאשר את המעבר האחרון מותר לנו לעשות רק אם (0) (0) n ו (0) m אין את אותה אנרגיה. במילים אחרות, המעבר האחרון מותר כאשר אין ניוון. 34

3..1 תורת ההפרעות הלא מנוונת במקרה שאכן אין ניוון, נציב את 3.10 לתוך 3.8, ונקבל את התיקון הראשון למצב העצמי: n (1) = m (0) V n (0) m (0) m n E n (0) E m (0) (3.11) התיקון השני לאנרגיה מתקבל ע"י הכפלת 3.6 ב (0) n, ותוך שימוש ב 3.11 : E () n = m n m (0) V n (0) E (0) n E (0) m (3.1) וכבר די נמאס לנו מחישובים, לכן נרצה לעצור כאן. כלומר, אנחנו מקווים שהתיקון השני לאנרגיה הרבה יותר קטן מהתיקון הראשון. אם נניח לרגע ש (0) n, n (0) V n (0) m (0) V אז התנאי לכך שאכן התיקון השני הרבה יותר קטן. m (0) V n (0) E n (0) E m זה אומר במילים שהפרש מהתיקון הראשון הוא ש (0) האנרגיות בין שני מצבים הוא הרבה יותר גדול מההפרעה בין אותם שני מצבים וזה תנאי די הגיוני לכך שבאמת נוכל לחשוב על λv כעל הפרעה קטנה. יש עוד כמה דברים שנוכל ללמוד מ 3.1: 1. אם אנחנו בודקים את התיקון לאנרגיה של מצב היסוד (כלומר = 0 n), אז המכנה (0) E לכל > 0 m), לכן כל הביטוי באגף ימין של 3.1 שלילי. נקבל 0 < E m שלילי (כי (0) שהתיקון מסדר שני לאנרגיה של מצב היסוד הוא תמיד שלילי.. אם כל אלמנטי המטריצה של V (כלומר הגדלים (0) n m ) (0) V הם מאותו סדר גודל, אז לרמות אנרגיה שקרובות לרמה n (עבורה אנו מחפשים את התיקון) תהיה השפעה גדולה יותר מאשר לרמות רחוקות. 3. אם רמה "חשובה" (מהבחינה שהיא קרובה, או שאלמנט המטריצה עבורה גדול) נמצאת מעל הרמה n (עבורה אנו מחפשים את התיקון), אז התיקון יהיה כלפי מטה. אם רמה "חשובה" נמצאת מתחת, אז התיקון יהיה כלפי מעלה. לכן אומרים לפעמים שלרמות אנרגיה יש נטייה לדחות אחת את השניה. 3.. תורת ההפרעות המנוונת?E n (0) = E m ברור כי נחזור כעת ל 3.9. מה נעשה אם יש ניוון? כלומר מה נעשה אם (0) במקרה זה, חייב להתקיים = 0 (0) n m (0) V אחרת נקבל סתירה: ( ) 0 = E n (0) E m (0) m (0) n (1) = m (0) V n (0) 0 (3.13) כלומר, כל אברי המטריצה של V שאינם על האלכסון (n m) חייבים להתאפס. במילים אחרות, אנחנו חייבים להיות בבסיס בו הבלוק של המטריצה V, שמתייחס למצבים המנוונים שלנו, הוא מלוכסן. קשור לכל הבלאגן הזה, איננו נכון. אחרת כל מה שעשינו, כולל התיקון הראשון לאנרגיה, שלכאורה לא 35

נתבונן רגע בדוגמא כדי להבין מה קורה פה. בתחילת הפרק הזה היה לנו בסיס של מצבים 0 (0), 1 (0), (0), 3 (0), 4 (0), 5 (0), 6 (0),..., n (0),... עצמיים של H: 0 β הכל היה טוב ויפה ללא ניוון. אבל כעת נניח שלמצבים העצמיים (0) 4, (0) 3, (0) יש (0).E אז נסמן } (0) 4, (0) 3, (0) { span D = הוא = E (0) 3 = E (0) את אותה אנרגיה 4 "תת המרחב המנוון". נחליף את שלושת הווקטורים (0) 4, (0) 3, (0), בשלושה וקטורים אחרים מ D, (0), כך שהם עדיין פורשים את D, אך כעת החלק (או הבלוק) של V ששייך α, (0), (0) γ לתת המרחב הזה הוא אלכסוני. הבסיס החדש שלנו הוא: 0 (0), 1 (0), (0) α, (0), (0) γ, 5 (0), 6 (0),..., n (0),... β אבל רגע, אם קודם היינו בבסיס בו H 0 אלכסונית, ועכשיו החלפנו חלק מאברי הבסיס, האם לא קילקלנו את הליכסון של H? 0 למרבה המזל, התשובה היא "לא". יש לנו חופש בבחירת וקטורים עצמיים מנוונים. אין שום דבר מיוחד בבחירה של (0) 4, (0) 3, (0). כל שלושה וקטורים בלתי תלויים מ D הם וקטורים עצמיים של H, 0 בפרט הוקטורים (0) (אנחנו מנצלים את החופש שיש לנו כדי לבחור שלושה וקטורים שבמקרה α, (0), (0) γ β גם מלכסנים את הבלוק הזה של V). (1),E שהרי חשוב מאד לזכור, כי במקרה זה יש לחשב מחדש את התיקונים (1)E 4, (1)E 3, אברי הבסיס המשמשים בחישוב 3.7 השתנו כעת. (0) E שוות, התיקונים = E (0) 3 = E (0) מה לגבי הניוון? אם היה לנו מזל, אז בעוד האנרגיות 4 (1) E ואז האנרגיות לאחר E (1) 3 E (1) מסדר ראשון לכל אחד יהיו שונים, כלומר 4 התיקון יהיו שונות: E E (0) + E (1) E 3 E (0) 3 + E (1) 3 E 4 E (0) 4 + E (1) 4 במקרה זה נאמר כי "ההפרעה הסירה את הניוון". אם לא היה לנו מזל, אז יתכן שההפרעה הסירה רק חלק מהניוון, ולא את כולו. במקרה זה נצטרך ללכת לסדר הבא בתורת ההפרעות או להוסיף הפרעה נוספת, קטנה יותר מההפרעה המקורית. אבל לפני זה, נחזור על ההסבר הנ"ל בניסוח כללי. נניח שלאנרגיה (0) n E יש k מצבים { } k (0) n. כאמור, הבעיה שלנו היא שתחת המצבים האלו יתכן והבלוק עצמיים i i=1 { } k (0) n איננו מלוכסן, ואז מתקבלת הסתירה שראינו ב 3.13. עלינו ללכסן i V n (0) j i,j=1 את הבלוק הזה. כלומר, עלינו למצוא k מצבים עצמיים של הבלוק. נסמן אותם ב n (0) α, n (0) β,... }{{} k eigenstates 36

{ } k E n (1) צריך רק לזכור לחזור ולחשב את. n (0) וניקח אותם כאברי בסיס במקום i i=1 (ממשוואה 3.7) מחדש כי עכשיו אנחנו עובדים בבסיס חדש, והתוצאות הקשורות למצבים שהחלפנו בבסיס יהיו שונות. עד כאן מצאנו את התיקון מסדר ראשון לאנרגיות (גם אלו המנוונות), מה לגבי התיקון מסדר ראשון למצבים? נניח כעת, בלא הגבלת הכלליות, שהמצבים המנוונים הם המצבים (0) k..., (0), (0). 1 כלומר, לכולם אותה אנרגיה (לא מופרעת) (0) E. במקרה הלא מנוון מצאנו את התיקון אותה נסמן ב 1..k,E(0) 1 = E (0) =... = E (0) k מסדר ראשון למצבים ע"י הכפלת המשוואה 3.5 משמאל ב (0) m. נעשה זאת גם כאן, אך כעת עלינו להפריד למקרים:.1 עבור m, n k 1 נקבל: m (0) H 0 n (1) + m (0) V n (0) = m (0) E (0) n n (1) + m (0) E (1) n n (0) E (0) m m (0) n (1) + m (0) V n (0) = E (0) n m (0) n (1) + E (1) n m (0) n (0) ( ) E m (0) E n (0) m (0) n (1) + m (0) V n (0) = E n (1) δ mn,(e (0) שווים ל 1..k (שניהם E(0) m = E n אבל כאן, כיוון ש k,m n 1, נובע ש (0) ולכן נקבל: m (0) V n (0) = E (1) n δ mn (1 m, n k) (3.14) נכפיל כעת את 3.6 משמאל ב (0) m, ונקבל: m (0) V n (1) = E (1) n m (0) n (1) + E () n δ mn (1 m, n k) (3.15) m (0) V n (1) = k i=1 m (0) V i (0) i (0) n (1) + i>k את אגף שמאל של 3.15 נוכל לכתוב גם כך: m (0) V i (0) i (0) n (1) = m (0) V m (0) m (0) n (1) + i>k m (0) V i (0) i (0) n (1) = E (1) m m (0) n (1) + i>k m (0) V i (0) i (0) n (1) נציב זאת חזרה ב 3.15 ונקבל: ( ) E n (1) E m (1) m (0) n (1) + E n () δ mn = i>k m (0) V i (0) i (0) n (1) (3.16). עבור m > k (ו n כלשהו) אנו במצב הלא מנוון ולכן נקבל כמו קודם: m (0) n (1) = m(0) V n (0) E n (0) E m (0) (m > k) (3.17) 37

הנוסחא 3.17 מאפשרת לנו לחשב את המקדמים (1) n m (0) עבור m, > k לכן נוכל להציב זאת באגף ימין של 3.16 ולקבל: ( ) E n (1) E m (1) m (0) n (1) + E n () δ mn = i>k m (0) V i (0) i (0) V n (0) E (0) m E (0) i (3.18) כלומר, מ 3.17 יש לנו את המקדמים (1) n m (0) עבור m. > k על מנת להציב ב 3.8, עלינו למצוא את המקדמים (1) n m (0) עבור m, n k.1 נוכל למצוא אותם מ 3.18. עבור m (0) n (1) = 1 E (1) n E (1) m E () n m (0) V i (0) i (0) V n (0) i>k = i>k E (0) m E (0) i (1 m, n k) :m n ועבור m = n קיבלנו על הדרך את התיקון מסדר שני לאנרגיה: n (0) V i (0) E (0) n E (0) i עד כה הנחנו שלאחר לכסון V בתת המרחב המנוון D, הסרנו את כל הניוון. אבל זה לא מובטח לנו. אם עדיין נשאר ניוון, כלומר ישנו תת מרחב מנוון בתוך D (נסמן אותו ב D), 1 אנו יכולים לנקוט באחת משתי אפשרויות: 1. לעבור לסדר שני בתורת ההפרעות ולקוות שהתיקון מסדר שני לאנרגיה יהיה שונה לכל מצב מנוון. במקרה זה צריך לדאוג לכך שלא תתקבל סתירה ב 3.18, כלומר E n (1) = E m עבור.m n אגף ימין הוא בעצם אלמנט שאגף ימין יתאפס אם (1) מטריצה, לכן שוב, צריך לדאוג שמטריצה זו תהיה אלכסונית בתת המרחב D. 1. להוסיף הפרעה חדשה V 1 ולבחור וקטורי בסיס ל D, 1 המלכסנים את V 1 שם. במקרה זה אנו מקווים כי ההפרעה החדשה מסירה את הניוון הנותר. נציין כי ההפרעה החדשה שאנו מוסיפים V 1 צריכה להיות קטנה מההפרעה הנוכחית V. אם כעת הוסר כל הניוון, סיימנו. אחרת נוכל להמשיך בסדרים נוספים בתורת ההפרעות, או בהוספת הפרעות נוספות עד להסרה מלאה של הניוון. במקרה ונוסיף הפרעות, עלינו לזכור כי כל הפרעה שאנו מוסיפים צריכה להיות קטנה מההפרעה שהוספנו לפניה. 3..3 דוגמא: תיקונים לאטום דמוי מימן כשאומרים "אטום דמוי מימן" מתכוונים לאטום המורכב מ Z פרוטונים ואלקטרון אחד. במקרה זה אנחנו יודעים שההמילטוניאן הלא מופרע הוא: H 0 = p Ze m e r (3.19) והאנרגיות הן: E (0) n = 1 ( ) Zα m ec n 38

3..3.1 תיקונים יחסותיים האנרגיה הקינטית היחסותית של אלקטרון ניתנת ע"י: (pc) + (m e c ) m e c p p4 m e 8m 3 ec p4 V 8m 3 ec נתייחס למצב זה כאל הפרעה להמילטוניאן H 0 שתואר ב 3.19. נרצה לוודא שהפרעה זו היא אכן קטנה. ראשית: p 4 8m 3 e c p 1 p m e m e c m e כעת ניזכר במשפט הויריאלי אשר במקרה שלנו הוא: E k = 1 E p E (0) n = E tot = E k + E p = E k לכן: (p ) 8m 3 e c = E (0) 1 p n m e c m e (Zα) 0.53 10 4 Z ומכאן נקבל: שזה אכן קטן עבור ערכים לא גדולים מדי של Z. 39

E (1) n = n (0) V n (0) p 4 = n (0) 8m 3 ec n(0) p 4 = nlm 8m 3 ec nlm = 1 m e c nlm (H 0 + Ze r ) nlm כעת נחשב את התיקון הראשון לאנרגיה: = 1 m e c nlm H 0 + Ze H 0 + Z e 4 r r nlm = 1 [ ( ) m e c E n (0) + E (0) n Ze nlm 1 r nlm + Z e 4 nlm 1 ] r nlm ( ) 1 = 1 m e c (Zα)4 n 3 l + 1 3 4n קיבלנו כי התיקון תלוי ב l. כלומר, לפני ההפרעה, למצבים בעלי l שונה היתה אותה אנרגיה, וכעת הניוון הזה מוסר, שכן לכל l יש תיקון אחר לאנרגיה. עם זאת, הניוון עבור ערכי m שונים אינו מוסר. 3..3. אינטראקציה ספין מסילה כאשר אלקטרון נע בשדה החשמלי E = φ שיוצר הגרעין, הוא "מרגיש" שדה מגנטי B = 1 c (גם זה למעשה תיקון יחסותי). בנוסף, לאלקטרון קיים מומנט מגנטי (v E) µ. = e g לכן יש להוסיף להמילטוניאן את האיבר: m S ec µ B = e g S (v E) m e c = e g m S (p φ(r)) ec = e g m ec S (p r) 1 dφ(r) r dr = e g m ec S L1 dφ(r) r dr למעשה, האיבר הנכון הוא חצי מהנ"ל בגלל תיקון הנקרא פרצסיית T. homas נקבל: µ B = e g 4m ec S L1 r A(r)S L dφ(r) dr (3.0) לכן תיקון זה נקרא אינטראקציה ספין (S) מסילה (L). על מנת לחשב את התיקון מסדר ראשון לאנרגיה, נעבור לבסיס של מצבים עצמיים של J,J z,l,s (כאשר.(J L + S נסמן את מצבי הבסיס ב s,n,j m j,,l (אלו גם מצבים עצמיים של ההמילטוניאן כיוון 40

E (1) שהוא מתחלף עם כל האופרטורים האלו). לכן נקבל: n = n, j, m j, l, s A(r)S L n, j, m j, l, s = n, j, m j, l, s A(r) 1 ( J L S ) n, j, m j, l, s = 1 [j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)] r Rnl(r)A(r)dr = 1,s הערכים האפשריים ל j הם + 1 l ו 1 l (זאת לפי,(. ולכן נקבל: עבור ספין E n (1) = 1 { ( ) r R l j = l + 1 nl(r)a(r)dr ( ) (3.1) l 1 j = l 1 כלומר, קיבלנו הסרה של הניוון עבור ערכי j שונים. בניסויים זה מתבטא בפיצול דק של הקווים הספקטרליים אשר נקרא "המבנה הדק" או F. ine Structure עם זאת, הניוון עבור ערכי m j שונים אינו מוסר. נשים לב כי על מנת להבטיח > 0 j, עלינו להניח 0 l. אכן, אם נציב פוטנציאל קולומבי עבור φ ב 3.0, ונציב את ה ( A(r המתקבל 1 לתוך 3.1, נקבל: { E n (1) = g ( ) 4 m ec (Zα) 4 1 n 3 l(l + 1)(l + 1) l j = l + 1 ( ) (3.) l 1 j = l 1 שמתבדר עבור = 0 l. באופן מפתיע, התיקון הנכון עבור = 0 l מתקבל מ 3. עבור + 1 l j, = כאשר מצמצמים את ה l במונה עם ה l במכנה, ורק אז מציבים = 0 l. זה סוג של רמאות, אבל זה נותן את התוצאה הנכונה. הדרך החוקית לפתח את התיקון עבור = 0 l נקראת התיקון של.Darwin ניתן לראות כי שני התיקונים שחישבנו (יחסותי ואינטראקציה ספין מסילה) הם מאותו סדר גודל.(Zα) 4 3.3 שיטת הוריאציה תורת ההפרעות הסתמכה על כך שאנחנו יודעים לפתור את ההמילטוניאן H 0 ש"קרוב" להמילטוניאן האמיתי שמעניין אותנו. אך זה לא תמיד המקרה. שיטת הוריאציה הינה שיטת קירוב נוספת בה לא נדרש לדעת לפתור המילטוניאן קרוב. נגדיר את הפונקציונאל: E[ψ] = ψ H ψ ψ ψ (3.3) (פונקציונאל הוא כמו פונקציה רק שבמקום לקבל מספר ולהחזיר מספר היא מקבלת פונקציה ומחזירה מספר). 1 נציין שבמקרה זה > 0 A(r) 41

טענה: הפונקציונאל E[ψ] מקבל אקסטרמום כאשר ψ הינו מצב עצמי של H. במקרה זה הינו הערך העצמי המתאים ל ψ. E[ψ] לפני שנוכיח זאת עלינו להבין מה זה אומר שפונקציונאל מקבל אקסטרמום בפונקציה מסויימת. מעולם לא ראינו איך גוזרים פונקציונאל לפי פונקציה. היא: הגדרה: יהי E[ψ] פונקציונאל של הפונקציה ψ. נגזרת פונקציונאלית שלו לפי הפונקציה ψ δe[ψ(x )] δψ(x) lim ε 0 E[ψ(x ) + εδ(x x)] E[ψ(x )] ε למעשה זו הגדרה של פיסיקאים, אגף ימין איננו נכון מתמטית כי (x δ(x אינה פונקציה אלא דיסטריבוציה, ו E אינו מוגדר על דיסטריבוציות. נגזרת פונקציונאלית היא בתור דיסטריבוציה δe שמקיימת: הדרך הנכונה מתמטית להגדיר δe[ψ], f = d dε E[ψ + εf] ε=0 לכל פונקציה f. אז: בכל מקרה, הקשר לטענה שלנו הוא שאם הפונקציה ψ מביאה את E[ψ] לערך אקסטרמלי, δe[ψ(x )] δψ(x) = 0 (כמו שאנחנו רגילים מפונקציות רגילות). לא נכנס לפרטים של כל הנושא הזה. את ההוכחה הבאה אפשר להבין אינטואיטיבית גם בלי להבין לעומק את ההגדרה של הנגזרת הנ"ל, אבל באחד הפרקים בהמשך זה יסתבך, ואז נצטרך לחזור להגדרה הזו. הוכחה: מ 3.3 נקבל: ניקח דיפרנציאל לשני האגפים, ונקבל: E[ψ] ψ ψ = ψ H ψ δ (E[ψ]) ψ ψ + E[ψ]δ ( ψ ψ ) = δ ( ψ H ψ ) למציאת אקסטרמום, נציב = 0 (E[ψ]) δ ונזכור כי H הינו קבוע (כלומר = 0 (δh כדי לקבל: מכאן נקבל: E[ψ] ( δψ ψ + ψ δψ ) = δψ H ψ + ψ H δψ δψ H E[ψ] ψ + ψ H E[ψ] δψ = 0 (3.4) זה נכון לכל,δψ בפרט אם ניקח במקומו,iδψ ואז נקבל: iδψ H E[ψ] ψ + ψ H E[ψ] iδψ = 0 (3.5) 4

נצמצם ב i ונחסר את 3.5 מ 3.4 כדי לקבל: H ψ E[ψ] ψ = 0 כלומר, ψ הינו מצב עצמי של H עם ערך עצמי.E[ψ] טענה: יהי ψ 0 מצב היסוד של H ו ] 0 E 0 = E[ψ אנרגיית היסוד. אזי E[ψ] E 0 לכל,ψ ומתקיים שויון רק כאשר ψ. = ψ 0 הוכחה: מ 3.3 נקבל: E[ψ] E 0 = ψ H E 0 ψ ψ ψ (3.6) נפתח את ψ בבסיס המצבים העצמיים של H: ψ = n ψ n ψ ψ n נציב ב 3.6 ונקבל: E[ψ] E 0 = n = n = n ψ H E 0 ψ n ψ n ψ ψ ψ (E n E 0 ) ψ ψ n ψ n ψ ψ ψ (E n E 0 ) ψ n ψ ψ ψ 0 ומתקיים שויון רק כאשר,E n = E 0 כלומר.ψ = ψ 0 הטענה האחרונה מאפשרת לנו למצוא חסם עליון לאנרגיה של מצב היסוד, על ידי ניחוש של כל מיני פונקציות ψ (נקרא להן "פונקציות מבחן"). על מנת לקבל חסם טוב, ננחש פונקציות מבחן על בסיס פיסיקלי (זוגיות, דעיכה באינסוף, תלות זויתית מסויימת, וכד'). כמו כן, נבחר פרמטריזציה לכל פונקציה...) c, ψ = ψ(a, b, ונחפש את הפרמטרים... c, a, b, המביאים את E[ψ] למינימום. 3.3.1 דוגמא: מציאת אנרגיית היסוד בור פוטנציאל אינסופי V = { 0 x < a,h = p כאשר: m ניקח המילטוניאן + V x > a 43

), π וננסה לקבל חסם עליון 8a m נניח כי איננו יודעים את האנרגיה האמיתית של מצב היסוד ) עליה באמצעות שיטת הוריאציה. על מנת לבחור פונקציית מבחן, ברור לנו כי עליה להיות סימטרית ולהתאפס ב a x. הפונקציה הפשוטה ביותר המקיימת זו היא פרבולית בתוך הבור, ומתאפסת מחוצה לו: נחשב: ψ(x) = { a x x a 0 x > a E[ψ] = = m a a ( a x ) d dx ( a x ) dx a a (a x ) dx ( ) ( 10 π ) π 8a m 10 יותר גדולה מהאנרגיה האמיתית של מצב היסוד. π תוצאה זו הינה רק פי 1.013 נבחר כעת פונקציה התלוייה בפרמטר λ: ψ(x) = { a λ x λ x a 0 x > a [ ] ( ) (λ + 1)(λ + 1) E[ψ] = (λ 1) 4ma עבור פונקציה זו: 1+ 6 =.λ במקרה זה נקבל: מתקבל מינימום כאשר 1.7 ( 5 + ) ( 6 π ) E[ψ] = π 8a m תוצאה זו הינה בטווח של כ 0.3% מאנרגיית מצב היסוד האמיתית! 3.4 סיכום 1. בתורת ההפרעות אנו רושמים את ההמילטוניאן כהמילטוניאן אותו אני יודעים לפתור (הנקרא ההמילטוניאן הלא מופרע) בתוספת הפרעה קטנה.. כאשר בהמילטוניאן הלא מופרע אין ניוון, אנו יכולים לקבל את התיקונים לאנרגיה ולמצבים העצמיים שלו באופן מיידי באמצעות הנוסחאות שצוינו. 3. כאשר בהמילטוניאן הלא מופרע יש ניוון, עלינו לבחור בסיס של מצבים עצמיים המלכסנים את ההפרעה בתת המרחב המנוון. אז ממשיכים כמו במקרה ללא הניוון. ההפרעה עשויה להסיר את הניוון באופן מלא או באופן חלקי. 44

4. חישבנו את התיקונים מסדר ראשון לאנרגיה הנובעים מאפקטים יחסותים ומאינטראקציה ספין מסילה באטום דמוי מימן. 5. שיטת הוריאציה טובה למציאת חסם עליון לאנרגיה של מצב היסוד. בשיטה זו אנו נדרשים לבצע ניחוש מושכל של פונקציית מבחן. 45

פרק 4 סימטריה 4.1 הקדמה כידוע, "שיקולי סימטריה" הם אחת הדרכים היעילות ביותר לפשט בעיה פיסיקלית. בנוסף אנו יודעים ממשפט נטר כי סימטריה מובילה אותנו לגדלים נשמרים, שגם הם כלי מאד חשוב בפתרון של בעיות בפיסיקה. כעת ננסה לפרמל את המושג "שיקולי סימטריה". 4. משפטים כלליים עבור סימטריות הגדרה: יהי H המילטוניאן. אופרטור T יקרא סימטריה עבור H אם הוא משאיר את H ללא שינוי, כלומר: T 1 HT = H (4.1) במקרה זה נאמר כי "H סימטרי תחת T" או "ל H יש סימטריה מסוג T". טענה: תהי T סימטריה עבור המילטוניאן H, אזי = 0 [H,T]. הוכחה: הכפלה של 4.1 משמאל ב T נותנת מיד: HT = T H 46

הקשר בין סימטריה וניוון 4..1 טענה: יהי H המילטוניאן ונניח כי ψ מצב עצמי של H עם ערך עצמי E. אזי, גם T ψ מצב עצמי של H עם אותו ערך עצמי E. הוכחה: מהמשפט הקודם נקבל כי: H(T ψ) = T (Hψ) = T (Eψ) = E(T ψ) מסקנה: אם ψ הוא מצב עצמי של H עם ערך עצמי E שאיננו מנוון, אזי ψ הוא מצב עצמי של T. הוכחה: מכך ש ψ מצב עצמי של H נובע: Hψ = Eψ מהטענה הקודמת נקבל: H(T ψ) = E(T ψ) היות ואין ניוון ל E, נובע שחייב להתקיים: T ψ span {ψ} כלומר: T ψ = αψ עבור α מספר כלשהו. דוגמא: נתבונן ב T inv אופרטור השיקוף דרך ראשית הצירים. כלומר ψ( r).t inv ψ(r) = אזי, (T inv ) = I (כאשר I הינו אופרטור היחידה). מכאן נקבל כי הערכים העצמיים של T inv הם 1 ו 1. נוכל להסיק מכך, למשל, טענה לגבי האוסילטור ההרמוני. טענה: כל מצב עצמי של האוסילטור ההרמוני הוא סימטרי או אנטי סימטרי. הוכחה: יהי ψ מצב עצמי של האוסילטור ההרמוני עם ערך עצמי E. כיוון של E אין ניוון, נקבל מהטענה הקודמת ש ψ הוא מצב עצמי של T inv (ברור כי T inv הוא סימטריה עבור האוסילטור ההרמוני). לכן T inv ψ = ψ או.T inv ψ = ψ כלומר, ψ( r) ψ(r) = או ψ( r).ψ(r) = כלומר, ψ סימטרית או אנטי סימטרית. 47

נוכל להסיק טענה גם לגבי הפונקציות העצמיות של התנע הזויתי. טענה: הפונקציות העצמיות של זוג האופרטורים L, L z הן סימטריות או אנטי סימטריות (או בניסוח פוליטקלי קורקט "בעלות זוגיות מוגדרת"). בנוסף, לכל הפונקציות העצמיות בעלות אותו ערך של l, יש אותה זוגיות. הוכחה: נראה תחילה ש L סימטרי תחת T. inv כיוון ש T inv rt inv = r T inv pt inv = p נובע מיד ש T inv LT inv = T inv (r p) T inv = (r p) = L כאשר השתמשנו בעובדה ש,(T inv ) 1 = T inv שנובעת מכך ש.(T inv ) = I כעת, הערכים העצמיים,l m של זוג האופרטורים L, L z אינם מנוונים, לכן נקבל שלמצבים העצמיים ישנה זוגיות מוגדרת. נראה כי הזוגיות אינה תלויה ב m. מצד אחד: T inv Y l,m±1 (Ω) = t l,m±1 Y l,m±1 (Ω) מצד שני: T inv Y l,m±1 (Ω) = = = T inv L ± Y l,m (Ω) l(l + 1) m(m ± 1) L ± T inv Y l,m (Ω) l(l + 1) m(m ± 1) L ± t l,m Y l,m (Ω) l(l + 1) m(m ± 1) = t l,m Y l,m±1 (Ω) לכן: t l,m±1 = t l,m ניתן להראות בנוסף שהזוגיות של Y l,m היא (1 ), l כלומר Y l,m סימטרית אם l זוגי, ואנטי סימטרית אחרת. 48

4.. הקשר בין סימטריה וגדלים נשמרים טענה: תהי T סימטריה עבור H, כך ש T אינו תלוי מפורשות בזמן. אם T מייצג משתנה דינמי, אזי אותו משתנה הוא גודל נשמר. הוכחה: מטענה קודמת נובע כי = 0 [H,T]. נשתמש כעת במשפט אהרנפסט ונקבל: d dt T = i [T, H] + T t = 0 + 0 = 0 לכן T הוא גודל נשמר. 4.3 סימטריה להזזות משפט Bloch נתבונן באופרטור ההזזה a).t a ψ(r) = ψ(r + טענה: אופרטור ההזזה בוקטור a הוא: T a = e i a p (4.) הוכחה: נתבונן במצב המתקבל ע"י הפעלת האופרטור T a = e i a p על ψ: [ e i a p ψ(r) = 1 + i a p + 1 ( i ] a p) +... ψ(r) [ = 1 + a + 1 ] a +... ψ(r) = ψ(r) + ψ(r) a + 1 ψ(r) a +... = ψ(r + a) כלומר, האופרטור e i a p מזיז את ψ בוקטור.a עקב כך, אומרים שהאופרטור p הוא "יוצר" של הזזות, באופן דומה לכך שהאופרטור L הוא "יוצר" של סיבובים (ר' חלק.6.1 בע"מ 0). מסקנה: = 0 ] a,p] T ולכן יש בסיס משותף של מצבים עצמיים. אנו מכירים סט של מצבים עצמיים של p, הלא הם המצבים מהצורה e. ik r ואכן: T a e ik r = e ik (r+a) = e ik a e ik r 49

כלומר המצב e ik r הוא אכן מצב עצמי של T a עם ערך עצמי e. ik a נשים לב כי קיים ניוון לכל אחד מהערכים העצמיים הללו, שכן לכל מצב מהצורה e i(k+q) r כך ש πn Q a = יש אותו ערך עצמי.e i(k+q) a = e ik a נוכל לטעון טענה הרבה יותר כללית לגבי המצבים העצמיים של האופרטור T. a משפט :(Bloch) נניח u(r) פונקציה מחזורית עם מחזור a, אז כל מצב מהצורה u(r) e ik r (הנקרא "מצב בלוך" או "פונקציית בלוך") הוא מצב עצמי של T a עם ערך עצמי e. ik a הוכחה: [ T a e ik r u(r) ] = e ik (r+a) u(r + a) = e ik a [ e ik r u(r) ] אחת המסקנות החשובות ממשפט זה נוגעת לאלקטרונים בגביש. כיוון שהפוטנציאל של גביש הוא מחזורי, אזי ההמילטוניאן של האלקטרון הוא מחזורי. מהטענה הראשונה שהוכחנו בפרק זה נובע שההמליטוניאן מתחלף עם T a (כאשר a מחזור הפוטנציאל). לכן, המצבים העצמיים של ההמילטוניאן הם מצבי בלוך. מכאן שלאלקטרון יש הסתברות שווה להמצא בכל אחד מתאי היחידה של הגביש (שכן ההסתברות הינה הריבוע של פונקציית הגל, שזהה בכל תא יחידה). תוצאה זו מסבירה כיצד יתכן שאלקטרונים נעים בחופשיות מתא יחידה אחד לשני, כאילו שלא היו שם אטומי גביש להפריע להם. השאלה החדשה המתעוררת היא, אם כן, מה שונה עבור מבודדים שמונע מהאלקטרונים לנוע בכזו חופשיות? על כך עונים בקורס במצב מוצק. 4.4 סימטריה להחלפת חלקיקים פרמיונים ובוזונים עבור מערכות עם מספר חלקיקים ניתן להגדיר את האופרטור T ij אשר מחליף בין החלקיק ה i לחלקיק ה j. ברור כי אם החלקיקים זהים, אזי ההמילטוניאן לא ישתנה תחת הפעלה של האופרטור הנ"ל. לדוגמא, עבור מערכת של שני אלקטרונים חופשיים: H = p 1 + p e + m e m e r 1 r כאשר p i הנו התנע של כל חלקיק ( =,1 i), ו r i הינו המיקום. ניתן לראות כי החלפה בין האלקטרונים 1 ו לא תשנה את ההמילטוניאן. כלומר, ההמילטוניאן סימטרי תחת החלפה של חלקיקים זהים. טענה: יהי H המילטוניאן, ψ מצב עצמי לא מנוון שלו ו T ij אופרטור ההחלפה בין החלקיקים הזהים i ו j. אזי, המצב ψ הוא סימטרי או אנטי סימטרי להחלפה בין החלקיקים הללו. 50

הוכחה: לפי טענה קודמת נובע ש ψ הוא מצב עצמי של T. ij כעת נשים לב כי T) ij ) = I (כאשר, שוב, I הינו אופרטור היחידה), ולכן הערכים העצמיים של T ij הם 1 ו 1. כלומר, ψ מקיים: T ij ψ = ψ או: T ij ψ = ψ כלומר המצב ψ הוא סימטרי או אנטי סימטרי תחת החלפת חלקיקים זהים. בנוסף, כיוון שההמילטוניאן עצמו סימטרי להחלפה של חלקיקים זהים, נובע שהתפתחות בזמן אינה יכולה לשנות את אופיו הסימטרי או האנטי סימטרי של מצב כלשהו. מניסויים מקבלים שלכל סוג של חלקיקים מופיע רק סוג אחד של מצבים. חלקיקים אשר מתוארים רק ע"י המצבים הסימטריים נקראים בוזונים (פוטונים הם בוזונים, לדוגמא), וחלקיקים אשר מתוארים רק ע"י המצבים האנטי סימטריים נקראים פרמיונים (כמו למשל אלקטרונים). לא קיימים חלקיקים אשר מתוארים ע"י מצבים שאינם סימטריים או אנטי סימטריים. כלומר, בנוסף לטענה האחרונה, ניסויים מראים שכל מצב עצמי (של ההמילטוניאן) שיכול לתאר חלקיק (גם מצבים מנוונים) הם מצבים עצמיים של T. ij עובדה נוספת היא שפרמיונים הם תמיד בעלי ספין חצי שלם, בעוד בוזונים תמיד בעלי ספין שלם. לא קיים לכך הסבר תיאורתי במסגרת המכניקה הקוונטית הלא יחסותית (אבל בתורת השדות אפשר להוכיח את זה). 4.4.1 מערכת של חלקיקים זהים ללא אינטראקציות עקרון P auli נחשוב על מערכת של שני חלקיקים, ללא אינטראקציה ביניהם. נניח שכל חלקיק מתואר ע"י המילטוניאן של אוסילטור הרמוני. נסמן את אוסף המצבים העצמיים של החלקיק 0=n { n }, ואת אלו של החלקיק השני ב 0=m { m }. ההמילטוניאן המשותף הראשון ב לשני החלקיקים הוא פשוט סכום של ההמילטוניאנים של כל אחד מהם. המצבים העצמיים.{ n, m } או בסימון מקוצר מעט n,m=0 { n m } n,m=0 המשותפים הם עבור n m מסויימים המצב m,n אינו סימטרי להחלפה של חלקיקים זהים וגם אינו אנטי סימטרי. האם זה לא סותר את הטענה האחרונה? לא, מכיוון שהטענה מתייחסת רק למצבים עצמיים שאינם מנוונים, ואילו המצב m,n הוא מנוון (כי גם למצב n,m יש אותה אנרגיה.(E n + E m נוכל לראות כי המצב 1 ( n, m + m, n ) (4.3) 51

הוא סימטרי להחלפה של חלקיקים, וכי המצב 1 ( n, m m, n ) (4.4) הוא אנטי סימטרי להחלפה בין חלקיקים (קיבלנו מצבים מאותה צורה במערכת של שני ספינים בה טיפלנו בפרק על חיבור תנע זויתי). הניוון שהוזכר נובע מכך שהמצב n,m והמצב m,n אינם אותו מצב. במקרה הראשון חלקיק מספר 1 נמצא במצב m, וחלקיק מספר נמצא במצב n. במקרה השני, חלקיק מספר 1 נמצא במצב n, וחלקיק מספר נמצא במצב m. שיטת הסימון שלנו מתבססת על כך שיש לנו שני חלקיקים, ואנו בוחרים את המצב של כל אחד מהם. נסתכל על זה עכשיו הפוך. כלומר, בהנתן שני מצבים, נבחר איזה חלקיק נמצא בכל אחד מהם. כך למשל את המצבים 4.3 ו 4.4 נוכל לרשום גם בצורה הבאה: 1 [ψ n (1)ψ m () ± ψ n ()ψ m (1)] כאשר המצבים הנתונים הם ψ n ו ψ m ואנו מציינים בסוגריים את מספר החלקיק הנמצא בכל מצב כזה. כלומר, הסימון (1) ψ מציין כי "החלקיק מספר 1 נמצא במצב מספר ", או אפשר גם להגיד "מצב מספר מאוכלס ע"י חלקיק מספר 1". טענה: נניח מערכת של N חלקיקים, תהי } N {ψ 1, ψ,..., ψ קבוצה של N מצבים. אזי קיימת רק קומבינציה לינארית אחת שלהם שהיא מצב אנטי סימטרי תחת החלפה של כל זוג חלקיקים. למשל, עבור מערכת עם שלושה חלקיקים, המצב 1 [ψ 1 (1)ψ ()ψ 3 (3) ψ 1 ()ψ (1)ψ 3 (3)] הוא אנטי סימטרי להחלפה של החלקיקים 1 ו, אך אינו אנטי סימטרי (וגם לא סימטרי) להחלפת 1 ו 3 או ו 3. לעומת זאת, המצב 1 6 [ψ 1 (1)ψ ()ψ 3 (3) ψ 1 ()ψ (1)ψ 3 (3) +ψ 1 (3)ψ (1)ψ 3 () ψ 1 (1)ψ (3)ψ 3 () +ψ 1 ()ψ (3)ψ 3 (1) ψ 1 (3)ψ ()ψ 3 (1)] (4.5) הוא אנטי סימטרי להחלפה של כל זוג חלקיקים. לפי הטענה, זהו המצב היחיד שניתן לבנות מהמצבים הנתונים שיהיה בעל התכונה זו. לא נוכיח את הטענה, רק נציין שהיא מקרה פרטי של טענה יותר רחבה: טענה: יהי V מרחב וקטורי במימד n, ו ( Alt k V) אוסף התבניות ה k לינאריות והאנטי סימטריות על V. אז: dim ( Alt k (V ) ) = ( n k ) = n! k!(n k)! 5

הטענה שלנו היא פשוט מקרה פרטי עבור } N V = span {ψ 1, ψ,..., ψ ו.k = n על מנת להבין כיצד נראה המצב הרב חלקיקי האנטי סימטרי עבור מערכת בעלת יותר משלושה חלקיקים, ניעזר בהגדרות הבאות. הגדרה: תמורה מסדר N היא פונקציה חד חד ערכית מהקבוצה {N,...,,1} על עצמה (כלומר תמורה היא פשוט סידור כלשהו של המספרים,... N,,1). נסמן את אוסף התמורות מסדר N ב.S N נציין כי N!. S N = הגדרה: תהי σ תמורה מסדר N..σ(i) > σ(j) ונאמר כי הוא "היפוך" אם σ(i) < σ(j) עבור i, < j נאמר כי σ(j)) (σ(i), הוא "סדר" אם הגדרה: תהי σ תמורה מסדר N. נסמן ב s את מספר ההיפוכים בתמורה σ. המספר.sign(σ) ומסומן σ נקרא הזוגיות של (1 ) s למשל, עבור התמורה σ(1) = σ() = 1 σ(3) = 3. 1 מספר ההיפוכים הוא 1 (קיים היפוך רק בין המספרים 1 ו ), ולכן הזוגיות של התמורה היא כעת נוכל לתאר את המצב הרב חלקיקי (היחיד) שהוא אנטי סימטרי במערכת של N חלקיקים ו N מצבים נתונים: ψ a = 1 N! σ S N sign(σ) ψ 1 (σ(1)) ψ (σ()) ψ N (σ(n)) (4.6) כך למשל ((1)σ) ψ 1 מציין שהמצב מספר 1 מאוכלס בחלקיק מספר (1)σ, כאשר σ תמורה כלשהי, ואנו סוכמים לבסוף על כל התמורות (נשים לב שיש כאן סכום של!N מחוברים). המצב שתואר עבור שלושה חלקיקים ב 4.5 הוא בדיוק מהצורה הזו, עם = 6!3 מחוברים. נשים לב ש ψ a הוא קומבינציה לינארית של מצבים עצמיים של ההמילטוניאן בעלי אותה אנרגיה, ולכן ψ a גם מצב עצמי של ההמילטוניאן. מאלגברה לינארית אנחנו יודעים שהביטוי 4.6 הוא צורה אחרת לכתיבה של דטרמיננטה, ψ a = 1 N! כלומר 4.6 שקול ל ψ 1 (1) ψ 1 () ψ 1 (N) ψ (1) ψ () ψ (N)........ ψ N (1) ψ N () ψ N (N) דטרמיננטה זו נקראת דטרמיננטת.Slater כאמור, מכיוון שכל אחד מהמחוברים ב 4.6 הוא מצב עצמי של ההמילטוניאן עם אנרגיה E, 1 +... + E n נובע שגם ψ a הוא מצב עצמי של ההמילטוניאן, כקומבינציה לינארית של מצבים מנוונים. 53

טענה (עיקרון האיסור של פאולי): 1. שניים או יותר פרמיונים זהים אינם יכולים להמצא באותו מצב חד חלקיקי.. שניים או יותר פרמיונים זהים אינם יכולים להיות עם אותם הערכים של כל הקואורדינטות. הוכחה: 1. נניח כי שני פרמיונים נמצאים באותו מצב חד חלקיקי, כלומר ψ. i = ψ j במקרה זה יש לנו שתי שורות זהות בדטרמיננטת סלייטר ולכן היא מתאפסת. מכאן ש = 0 a ψ לכן גם ההסתברות שלו מתאפסת.. נניח כי שני פרמיונים הם בעלי אותם ערכים לכל הקורדינטות, כלומר פרמיון מספר מסקנות: p שווה לפרמיון מספר q. במקרה זה יש לנו שתי עמודות זהות בדטרמיננטת סלייטר ולכן היא מתאפסת. כמו במקרה מספר 1 נובע שההסתברות של מצב כזה היא אפס. מהחלק הראשון של הטענה ניתן להבין את המצבים הקשורים של אטומים ומולקולות, וכן את התכונות של גזים קוונטיים מנוונים. מהחלק השני ניתן להסיק ששני פרמיונים דוחים זה את זה, למרות שאין ביניהם שום אינטראקציה מפורשת. זאת כיוון שפונקציית הגל רציפה, ולכן אם ההסתברות למצוא את שני החלקיקים באותו מקום היא אפס, נובע שההסתברות שהם יהיו קרובים מאד צריכה להיות קטנה מאד. תוצאה זו מסבירה את הקשיחות הגדולה של מוצקים. נציין רק, למען הסדר הטוב, גם את המצבים הסימטריים: ψ s = N1!N! N N! N! σ S N ψ 1 (σ(1)) ψ (σ()) ψ N (σ(n)) כאשר N i מציין את הריבוי של המצב ψ i (ומתקיים N i = N ). כאן יתכן שאותו מצב ψ. s יופיע מספר פעמים כיוון שזה לא יגרור איפוס של ψ i 4.5 סיכום 1. במכניקה הקוונטית, סימטריה עבור המילטוניאן מסויים מוגדרת כאופרטור שאינו משפיע על ההמילטוניאן.. אופרטורים כאלו, אשר בנוסף אינם תלויים מפורשות בזמן, מייצגים גדלים נשמרים. 3. התנע הקווי הוא יוצר של הזזות, באותו אופן בו התנע הזויתי הוא יוצר של סיבובים. 4. הפונקציות העצמיות של המילטוניאן שסימטרי להזזות הן פונקציות בלוך. 5. מצבים שהם סימטריים להחלפה של חלקיקים זהים מתארים בוזונים. מצבים שהם אנטי סימטריים להחלפה של חלקיקים זהים מתארים פרמיונים. 54

6. המצב הרב חלקיקי האנטי סימטרי של חלקיקים ללא אינטראקציות מתואר ע"י דטרמיננטת.Slater 7. עקרון האיסור של P auli מציין כי פרמיונים זהים אינם יכולים להמצא באותו מצב, ואינם יכולים להיות בעלי ערכים זהים בכל הקורדינטות. 55

פרק 5 אטומים 5.1 אטום ההליום אטום ההליום כולל שני פרוטונים בגרעין ושני אלקטרונים (מעתה אנו נבצע את החישובים שלנו באופן כללי עבור Z פרוטונים בגרעין). שני האלקטרונים מהווים דוגמא ראשונה למערכת של שני חלקיקים זהים. נסמן ב p 1 את התנע של האלקטרון הראשון וב r 1 את מיקומו (יחסית לגרעין ), 1 וכך גם לאלקטרון השני נסמן p ו r. אז, ההמילטוניאן המתאר את אטום ההליום הוא: H = p 1 m + p m Ze r 1 Ze r + e r 1 r (5.1) 5.1.1 הזנחת האינטראקציה בין האלקטרונים נתחיל בכך שנזניח את האינטראקציה בין האלקטרונים, למרות שהיא אינה בהכרח קטנה. כלומר, נתעלם בינתיים מהמחובר האחרון בהמילטוניאן. במקרה זה, יש לנו המילטוניאן שהוא פשוט חיבור של שני המילטוניאנים של אטום המימן. לפיכך אנו כבר יודעים כי המצבים העצמיים הרב חלקיקיים יהיו מהצורה (אנו ממשיכים בשיטת הסימון מסוף הפרק הקודם): ψ n1l 1m 1 (1)ψ nl m () נעבוד בבסיס בו האופרטורים L ו L z (התנע הזויתי הכולל של שני האלקטרונים) מלוכסנים, לכן, המצבים העצמיים הרב חלקיקיים יהיו מהצורה: ψ n1lm(1)ψ nlm() 1 בשלב זה אנו מניחים שהגרעין נייח. 56

המצבים האנטי סימטריים תחת החלפת חלקיקים יהיו אז: ψ a = 1 [ψ n1lm(1)ψ nlm() ψ n1lm()ψ nlm(1)] הערה: מעתה במקום להגיד "סימטריים / אנטי סימטריים תחת החלפת חלקיקים" נגיד רק "סימטריים / אנטי סימטריים". הערה נוספת: נזכור מהפיתוח של אטום המימן שחייב להתקיים 1 n l. טענה: יהי ψ a מצב אנטי סימטרי כנ"ל. המצב ψ a הוא מצב קשור אם ורק אם אחד האלקטרונים נמצא במצב היסוד (כלומר = 1 1 n או = 1.(n הוכחה: נזכיר תחילה את יחידת האנרגיה "רידברג",,1Ry = 13.6eV ונעבוד כעת באמצעות יחידה זו. האנרגיה הנמוכה ביותר של מצב לא קשור ניתנת כאשר = 1 1 n ו = n (או להפך). במקרה זה האנרגיה היא (עבור = Z): E n1=1,n = = Z n 1 = 4 1 = 4Ry Z n האנרגיה הנמוכה ביותר של מצב בו אף אלקטרון אינו נמצא במצב היסוד ניתנת כאשר :(Z במקרה זה האנרגיה היא (שוב, עבור =.n ו = n 1 = E n1=,n = = Z n 1 = 4 4 4 4 = Ry Z n קיבלנו שהאנרגיה המינימלית של מצב בו אף אלקטרון אינו במצב היסוד היא גבוהה מזו של האנרגיה המינימלית הלא קשורה. כלומר, למצב הזה יש אותה אנרגיה כמו למצב לא קשור! לכן, האנרגיה של המצב הזה נמצאת בתוך ספקטרום רציף, וכל הפרעה קטנה שתסיט את האנרגיה שלו, תהפוך אותו למצב לא קשור. נוסיף כעת התייחסות לספין של כל אלקטרון. כלומר, נתאר את מצב האלקטרון כמצב מרחבי ψ מוכפל חיצונית במצב ספינורי χ. אנו כבר יודעים שבבסיס של הספין הכולל בו האופרטורים S ו S z מלוכסנים, המצבים העצמיים הם כבר סימטריים (אלו מצבי הטריפלט χ). s או אנטי סימטריים (מצב הסינגלט χ) t כעת מגיע עיקרון מאד חשוב: על מנת שפונקציית הגל הכוללת תהיה אנטי סימטרית (כפי שנדרש עבור אלקטרונים), אנו דורשים שאם החלק הספינורי סימטרי, החלק המרחבי יהיה אנטי סימטרי, ולהפך. 57

המצב המרחבי הסימטרי הוא: ψ s = 1 [ψ n1lm(1)ψ nlm() + ψ n1lm()ψ nlm(1)] ולכן המצב הרב חלקיקי הכולל יהיה תמיד (חלק מרחבי אנטי סימטרי וחלק ספינורי סימטרי): ψ a χ t (5.) או (חלק מרחבי סימטרי וחלק ספינורי אנטי סימטרי): ψ s χ s (5.3) שימו לב שהאות s משמשת לפעמים כדי לסמן מצב סימטרי ולפעמים (עבור ספין) כדי לסמן סינגלט (שהוא, למרבה הצער, אנטי סימטרי). מצבים מהצורה 5. נקראים orthohelium ומצבים מהצורה 5.3 נקראים.parahelium במצב היסוד, שני האלקטרונים הם בעלי = 1 n, לכן רק המצב המרחבי הסימטרי אפשרי יחד עם מצב הסינגלט (לא נוכל לבנות מצב אנטי סימטרי עם :(n 1, l 1, m 1 = n, l, m = 1, 0, 0 ψ ground state = ψ 100 (1)ψ 100 () χ s (5.4) האם זה ששני האלקטרונים הם בעלי = 1 n ו = 0 i l, i = m לא סותר את עקרון האיסור של פאולי? נזכור כי מצב הסינגלט הוא: χ s = 1 ( ) לכן מובטח שאם אלקטרון אחד הוא בעל ספין למעלה, השני בעל ספין למטה, ולכן המצב הכולל של שני האלקטרונים (מרחבי וספינורי) אינו זהה, ועקרון האיסור של פאולי לא מופר. האנרגיה של מצב היסוד היא: E n1=1,n =1 = Z n 1 = 4 1 4 1 = 8Ry Z n = 108.8eV ערך זה הוא די רחוק מהערך הניסיוני, 78.975eV אך זה אינו מפתיע שכן אנו מתעלמים בינתיים מהאינטראקציה בין האלקטרונים. עבור ספינורים באחד ממצבי הטריפלט, האטום לא יהיה במצב היסוד, האנרגיה הכי נמוכה עבור מצבי טריפלט מתקבלת באחד משני המצבים בהם = 1 1 n ו = n (או להפך) ולכן = 0 l או = 1.l כלומר: 1 [ψ 100 (1)ψ 00 () ψ 100 ()ψ 00 (1)] χ t (5.5) 58

או 1 [ψ 100 (1)ψ 1m () ψ 100 ()ψ 1m (1)] χ t (5.6) לשני המצבים הללו אותה אנרגיה: E n1=1,n = = Z n 1 = 4 1 4 4 = 5Ry = 68eV Z n למרות שהאנרגיה הזו גבוהה יותר מהאנרגיה של מצב היסוד, המצבים הללו הם מטה סטביליים, כיוון שלא יתכן מעבר קרינתי בין מצבי טריפלט וסינגלט (אנו נראה בהמשך שמעברי קרינה (בקירוב הדיפולי) אפשריים רק בין מצבים עם אותו S). נציין לסיום כי המצבים 5.5 5.4, ו 5.6 הם מצבים עצמיים של האופרטורים S L, z L, ו S. z אילו לא היינו עוברים לבסיס של מצבים עצמיים של האופרטורים הללו מהתחלה, היינו מקבלים את המצבים העצמיים של H כדטרמיננטות סלייטר. למשל, עבור המצבים 5.5 ו 5.6 היינו מקבלים (נוותר על ה למען הבהירות): 1 ψ 100 (1)χ (1) ψ 100 ()χ () ψ lm (1)χ (1) ψ lm ()χ () 1 ψ 100 (1)χ (1) ψ 100 ()χ () ψ lm (1)χ (1) ψ lm ()χ () הבעיה בשימוש במצבים אלו היא שהם לא מצבים עצמיים של S. המצבים 5.5 5.4, ו 5.6, לעומת זאת, הם כן מצבים עצמיים של S. 5.1. התייחסות לאינטראקציה בין האלקטרונים e בהמילטוניאן. על מנת לחשב את האנרגיות r 1 r עד כה התעלמנו מאיבר האינטראקציה המתקבלות עם התייחסות לאיבר זה, נשתמש בשיטות הקירוב שלמדנו. 5.1..1 סדר ראשון בתורת ההפרעות כאן אנו מתייחסים להמילטוניאן ללא איבר האינטראקציה כאל ההמילטוניאן הלא מופרע, ולאיבר האינטראקציה כאל הפרעה. במקרה זה התיקון לאנרגיה של מצב היסוד יהיה (במעבר לאינטגרלים נוכל להפריד את החלק הספינורי, שהאינטגרל שלו הוא 1, מהחלק 59

E (1) המרחבי, ולכן לא נטרח לרשום את החלק הספינורי): e 0 = ψ ground state r 1 r ψ ground state = 1 e [ψ 100 (r 1 )ψ 100 (r ) + ψ 100 (r )ψ 100 (r 1 )] r 1 r [ψ 100 (r 1 )ψ 100 (r ) + ψ 100 (r )ψ 100 (r 1 )] d 3 r 1 d 3 r =... = ψ 100 (r 1 ) e r 1 r ψ 100(r ) d 3 r 1 d 3 r החישוב של האינטרגל הזה הוא די ארוך ומייגע. הפרטים נמצאים ב Gasiorowicz פרק 18 (ע"מ 97 במהדורה השנייה), והתוצאה הסופית היא: E (1) 0 = 5 Ry = 34eV כלומר נקבל שהאנרגיה המתוקנת למצב היסוד היא 74.8eV = 34 108.8 + שזה כבר די קרוב לערך הניסיוני. 78.975eV אם נזכור שהתיקון מסדר שני לאנרגיה של מצב היסוד הוא תמיד שלילי, נראה שזה אכן יקח אותנו בכיוון הנכון. בהמשך נראה כי בשיטת הוריאציה, ע"י בחירה של פונקציית מבחן פשוטה, נקבל ערך שהוא אפילו עוד יותר קרוב לערך הניסיוני מאשר הערך המתקבל כאן, גם לאחר תיקון מסדר שני. נעבור לתיקון באנרגיה של המצב המעורר הראשון. במקרה זה יתכנו שני מצבים בעלי אותה אנרגיה (עבור כל ערך של l, כאשר = 0 l או = 1 l): 1 [ψ 100 (1)ψ lm () ψ 100 ()ψ lm (1)] χ t (5.7) 1 [ψ 100 (1)ψ lm () + ψ 100 ()ψ lm (1)] χ s (5.8) כלומר, יש לנו ניוון עבור אנרגיה זו. לכן, נצטרך, כביכול, לבחור בסיס חדש של מצבים e אלכסונית בתת המרחב המנוון. למרבה המזל ההפרעה r 1 r עצמיים עבורו ההפרעה כבר אלכסונית שם. אחד ההסברים לכך הוא שההפרעה תלויה רק בגודל r 1 r ולכן היא אינווריאנטית תחת אופרטור הסיבוב D. מכאן, שההפרעה מתחלפת עם L z ו L ולכן אלכסונית בבסיס בו אנו עובדים. בדומה לחישוב התיקון מסדר ראשון לאנרגיה של מצב היסוד, כאן נקבל כי התיקון מסדר ראשון הוא (המינוס מתייחס לתיקון עבור המצב הטריפלטי 5.7, והפלוס מתייחס לתיקון עבור המצב הסינגלטי 5.8): n = 1 ψ 100 (r 1 )ψ nlm (r ) ± ψ 100 (r )ψ nlm (r 1 ) e r 1 r d3 r 1 d 3 r = ψ 100 (r 1 ) ψ nlm (r ) e r 1 r d3 r 1 d 3 r ± ψ100(r 1 )ψnlm(r e )ψ 100 (r )ψ nlm (r 1 ) r 1 r d3 r 1 d 3 r J nl ± K nl E (1) 60

J nl = ψ 100 (r 1 ) ψ nlm (r ) e r 1 r d3 r 1 d 3 r כאשר: K nl = נקרא Direct Integral ו ψ100(r 1 )ψnlm(r )ψ 100 (r )ψ nlm (r 1 ) r 1 r d3 r 1 d 3 r e נקרא Exchange Integral או "אנרגיית/אינטראקציית חילוף". תלויים ב m, נובעת מהטענה הבאה. הסיבה ש J ו K אינם. l 1, l, l, m ± 1 e r 1 r l 1, l, l, m ± 1 = l 1, l, l, m e טענה: m r 1 r l 1, l, l, הוכחה: ההוכחה מתבססת על כך שההפרעה מתחלפת עם האופרטורים ± L: e l 1, l, l, m ± 1 r 1 r l 1, l, l, m ± 1 = l 1, l, l, m L r L 1 r ± l 1, l, l, m l(l + 1) m(m ± 1) = l e 1, l, l, m r L 1 r L ± l 1, l, l, m l(l + 1) m(m ± 1) = l e 1, l, l, m r 1 r l(l + 1) m m e = l 1, l, l, m r 1 r l 1, l, l, m e ( ) L L z L z l1, l, l, m אנו רואים כי ההפרעה (כלומר, איבר האינטראקציה) מסירה את הניוון בין מצבי הספין השונים בעלי האנרגיה המעוררת הראשונה. 5.1.. שיטת הוריאציה נשתמש בשיטה זו כדי לקבל הערכה לאנרגיה של מצב היסוד. נשתמש בפונקציית מבחן שהיא פשוט מכפלת מצבי היסוד של אלקטרון בודד. אולם, במקום להשתמש ב = Z, ניקח את Z כפרמטר עליו נעשה את המינימיזציה של.E[ψ] פונקציית המבחן היא אם כן: ψ(z eff ) = Z 3 eff πa 3 0 e Z eff a 0 r1 = Z3 eff πa 3 e Z eff a (r 0 1+r ) 0 Z 3 eff πa 3 0 e Z eff a 0 r 61

כאשר a 0 הוא רדיוס.Bohr מינימיזציה על [( eff E[ψ(Z עם ההמילטוניאן 5.1 נותנת: d E[ψ(Z eff )] dz eff = 0 d ψ(z eff ) H ψ(z eff ) dz eff = 0. Z eff = Z 5 16 = 1.6875 ולכן האנרגיה של מצב היסוד המתקבלת היא: E n1=1,n =1 = Z eff n 1 Z eff n Z eff = 77.5eV שזה כבר מאד קרוב לערך הניסיוני. 78.975eV מה המשמעות של הערך = 1.6875 eff Z? ניתן לחשוב על זה כעל מספר הפרוטונים האפקטיבי שרואה כל אלקטרון. כלומר, כל אלקטרון רואה בגרעין מטען 1.6875e במקום e כיוון שהאלקטרון השני (בעל מטען e ) ממסך חלקית את מטען הגרעין. שימוש בפונקציות מבחן יותר מסובכות עם יותר פרמטרים חופשיים יתן תוצאה קרובה יותר לערך הניסיוני. המוביל בחישובים אלו (לפני כ 50 שנה) היה פרופ' חיים פקריס ממכון ויצמן למדע ברחובות. הוא השתמש אז לצורך החישובים המסובכים הללו במחשב הראשון שנבנה בישראל ע"י מכון וייצמן ונקרא W EIZAC (איור 5.1). 5. אטומים בעלי יותר משני אלקטרונים עבור אטומים מורכבים יותר מהליום, נוכל לכתוב את ההמילטוניאן באופן כללי כך: H = ( ) pi m Ze + e (5.9) r i i r i<j i r j אנו כבר יודעים שהסיכוי היחיד שלנו לחשב משהו מהמפלצת הזו הוא באמצעות שיטות קירוב. ראינו גם ששיטת הוריאציה הניבה תוצאות טובות יותר מתורת ההפרעות, כיוון שהיא מאפשרת התחשבות בתופעת המיסוך. תופעת המיסוך תהיה משמעותית יותר ככל שנוסיף אלקטרונים, ולכן נעדיף לעבוד בשיטת הוריאציה. השאלה היא, איזו פונקציית מבחן ניקח? בתור התחלה ניתן לקחת פונקציית מבחן שהיא מכפלה של פונקציות חד חלקיקיות: Ψ(1,,...N) = ψ 1 (1)ψ () ψ N (N) 6

איור 5.1: מחשב ה EIZAC W, כולם מחפשים מאיפה מכניסים את פונקציות המבחן. כאשר כל פונקציה חד חלקיקית מורכבת מחלק מרחבי וחלק ספינורי: ψ i (i) = ϕ i (r i )χ i (m si ) אך מהן הפונקציות החד חלקיקיות? בפעמים קודמות, קבענו פונקציות מבחן ψ התלויות בפרמטרים, וחיפשנו עבור אילו פרמטרים הפונקציונאל E[Ψ] מינימלי. הפעם נבצע וריאציה מתוחכמת יותר. ננסה למצוא עבור אילו פונקציות ψ הפונקציונאל E[Ψ] מינימלי. התהליך הזה נקרא "קירוב."Hartree אולם יש כאן בעיה מסויימת הפונקציה Ψ איננה אנטי סימטרית כפי שנדרש עבור אלקטרונים. אם נרצה לבצע קירוב יותר נכון, נצטרך להניח פונקציה רב חלקיקית Ψ אנטי סימטרית. כלומר, נצטרך להניח ש Ψ היא דטרמיננטת סלייטר. במקרה שמבצעים הנחה כזו, הקירוב נקרא "קירוב."Hartree F ock לפני שנתחיל נצטרך מעט רקע בכמה טכניקות מתמטיות. 63